Страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (436–438).

436. 1) $\sqrt[6]{36^3}$;

2) $\sqrt[12]{64^2}$;

3) $\sqrt[4]{\left(\frac{1}{25}\right)^2}$;

4) $\sqrt[8]{225^4}$.

1) Для вычисления выражения $\sqrt[6]{36^3}$ воспользуемся свойством корня $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.
В данном выражении показатель корня равен 6, а показатель степени подкоренного выражения — 3. Их наибольший общий делитель равен 3. Сокращаем показатели на 3:
$\sqrt[6]{36^3} = \sqrt[6/3]{36^{3/3}} = \sqrt[2]{36^1} = \sqrt{36}$
Вычисляем значение квадратного корня:
$\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

2) Для выражения $\sqrt[12]{64^2}$ применим то же свойство.
Показатель корня равен 12, показатель степени — 2. Наибольший общий делитель — 2. Сокращаем показатели на 2:
$\sqrt[12]{64^2} = \sqrt[12/2]{64^{2/2}} = \sqrt[6]{64^1} = \sqrt[6]{64}$
Находим корень шестой степени из 64. Так как $2^6 = 64$, получаем:
$\sqrt[6]{64} = 2$.
Ответ: 2

3) Для выражения $\sqrt[4]{(\frac{1}{25})^2}$ поступаем аналогично.
Показатель корня равен 4, показатель степени — 2. Наибольший общий делитель — 2. Сокращаем показатели на 2:
$\sqrt[4]{(\frac{1}{25})^2} = \sqrt[4/2]{(\frac{1}{25})^{2/2}} = \sqrt[2]{(\frac{1}{25})^1} = \sqrt{\frac{1}{25}}$
Вычисляем квадратный корень:
$\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

4) Для выражения $\sqrt[8]{225^4}$ снова используем то же свойство.
Показатель корня равен 8, показатель степени — 4. Наибольший общий делитель — 4. Сокращаем показатели на 4:
$\sqrt[8]{225^4} = \sqrt[8/4]{225^{4/4}} = \sqrt[2]{225^1} = \sqrt{225}$
Вычисляем квадратный корень из 225. Так как $15^2 = 225$, получаем:
$\sqrt{225} = 15$.
Ответ: 15

437. 1) $\sqrt[3]{10^6}$;

2) $\sqrt[3]{3^{12}}$;

3) $\sqrt[4]{\left(\frac{1}{2}\right)^{12}}$;

4) $\sqrt[4]{\left(\frac{1}{3}\right)^{16}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{10^6}$ воспользуемся свойством корня $n$-ой степени, которое можно представить в виде степенной функции: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. В данном случае показатель корня $n=3$, основание подкоренного выражения $a=10$, а показатель степени подкоренного выражения $m=6$.
Применим это свойство:
$\sqrt[3]{10^6} = 10^{\frac{6}{3}} = 10^2 = 100$.
Другой способ решения — представить подкоренное выражение как степень с показателем, равным показателю корня:
$10^6 = (10^2)^3$.
Тогда:
$\sqrt[3]{10^6} = \sqrt[3]{(10^2)^3} = 10^2 = 100$.
Ответ: 100.

2) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{3^{12}}$ применим то же свойство корня: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Здесь показатель корня $n=3$, основание $a=3$, показатель степени $m=12$.
$\sqrt[3]{3^{12}} = 3^{\frac{12}{3}} = 3^4$.
Вычислим значение $3^4$:
$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$.
Ответ: 81.

3) Вычислим значение выражения $\sqrt[4]{(\frac{1}{2})^{12}}$. Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. В этом примере $n=4$, $a=\frac{1}{2}$, $m=12$.
$\sqrt[4]{(\frac{1}{2})^{12}} = (\frac{1}{2})^{\frac{12}{4}} = (\frac{1}{2})^3$.
Возведем дробь в степень, используя свойство $(\frac{a}{b})^k = \frac{a^k}{b^k}$:
$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

4) Вычислим значение выражения $\sqrt[4]{(\frac{1}{3})^{16}}$. По свойству корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ при $n=4$, $a=\frac{1}{3}$, $m=16$ получаем:
$\sqrt[4]{(\frac{1}{3})^{16}} = (\frac{1}{3})^{\frac{16}{4}} = (\frac{1}{3})^4$.
Вычислим значение полученного выражения:
$(\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$.

438. 1) $ \sqrt[5]{-1} $;

2) $ \sqrt[5]{-1024} $;

3) $ \sqrt[7]{-8^7} $.

1)
Требуется найти значение выражения $\sqrt[15]{-1}$.
По определению корня нечетной степени, $\sqrt[n]{a}$ (где $n$ — нечетное число) — это такое число $b$, что $b^n = a$.
В данном случае $n=15$ (нечетное число) и $a=-1$. Мы ищем такое число $b$, для которого выполняется равенство $b^{15} = -1$.
Известно, что $(-1)$ в любой нечетной степени равно $-1$.
Так как 15 — нечетное число, то $(-1)^{15} = -1$.
Следовательно, $\sqrt[15]{-1} = -1$.
Ответ: -1

2)
Требуется найти значение выражения $\sqrt[5]{-1024}$.
Показатель корня $n=5$ является нечетным числом. Для корней нечетной степени справедливо свойство $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$.
Применим это свойство к нашему выражению: $\sqrt[5]{-1024} = -\sqrt[5]{1024}$.
Теперь найдем значение $\sqrt[5]{1024}$. Нам нужно найти такое число $b$, которое в 5-й степени даст 1024, то есть $b^5=1024$.
Путем подбора или зная степени чисел, находим, что $4^5 = 1024$, так как:
$4^1 = 4$
$4^2 = 16$
$4^3 = 64$
$4^4 = 256$
$4^5 = 256 \cdot 4 = 1024$.
Значит, $\sqrt[5]{1024} = 4$.
Следовательно, исходное выражение равно $-\sqrt[5]{1024} = -4$.
Ответ: -4

3)
Требуется найти значение выражения $\sqrt[7]{-8^7}$.
Показатель корня $n=7$ является нечетным числом. Выражение под корнем $-8^7$ по правилам порядка действий означает $-(8^7)$.
Поскольку возведение отрицательного числа в нечетную степень дает отрицательный результат, мы можем записать: $(-8)^7 = -8 \cdot -8 \cdot ... \cdot -8 = -(8^7)$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $\sqrt[7]{(-8)^7}$.
Для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$.
В нашем случае $a = -8$ и $n=7$ (нечетное). Применяя это свойство, получаем:
$\sqrt[7]{(-8)^7} = -8$.
Ответ: -8

439. Решить уравнение:

1) $x^4 = 256$

2) $x^5 = -\frac{1}{32}$

3) $5x^5 = -160$

4) $2x^6 = 128$

1) $x^4 = 256$

Данное уравнение имеет вид $x^{2n} = a$, где показатель степени $2n=4$ — четное число, а правая часть $a = 256$ — положительное число. В этом случае уравнение имеет два действительных корня.

Чтобы найти $x$, извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

Найдем значение $\sqrt[4]{256}$. Поскольку $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Ответ: $x = \pm 4$.

2) $x^5 = -\frac{1}{32}$

Это уравнение вида $x^{2n+1} = a$, где показатель степени $2n+1=5$ — нечетное число. Уравнение с нечетной степенью всегда имеет один действительный корень.

Для нахождения $x$ извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно представить как минус корень из положительного числа:

$x = - \sqrt[5]{\frac{1}{32}}$

Поскольку $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Соответственно, $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, получаем решение:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

3) $5x^5 = -160$

Вначале упростим уравнение, разделив обе его части на коэффициент 5:

$x^5 = \frac{-160}{5}$

$x^5 = -32$

Получили уравнение с нечетным показателем степени, которое имеет один действительный корень.

Извлечем корень пятой степени из обеих частей:

$x = \sqrt[5]{-32}$

Так как $(-2)^5 = -32$, корень равен -2.

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

4) $2x^6 = 128$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x^6$:

$x^6 = \frac{128}{2}$

$x^6 = 64$

Мы получили уравнение с четным показателем степени $6$ и положительной правой частью $64$. Такое уравнение имеет два действительных корня.

Извлечем корень шестой степени из обеих частей:

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Найдем значение $\sqrt[6]{64}$. Поскольку $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $x = \pm 2$.

Вычислить (440–444).

440. 1) $5\sqrt[5]{32} - 0,5\sqrt[3]{-216};$

2) $\sqrt[3]{-1000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256};$

3) $5\sqrt[5]{\frac{1}{243}} + \sqrt[3]{-0,001} - \sqrt[4]{0,0016}.$

1) $\sqrt[5]{32} - 0,5\sqrt[3]{-216}$
Для вычисления этого выражения, найдем значения каждого корня по отдельности.
Корень пятой степени из 32: $\sqrt[5]{32}$. Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает 32. Таким числом является 2, поскольку $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Значит, $\sqrt[5]{32} = 2$.
Кубический корень из -216: $\sqrt[3]{-216}$. Корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом. Таким образом, $\sqrt[3]{-216} = -\sqrt[3]{216}$. Число, которое при возведении в куб дает 216, это 6, так как $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-216} = -6$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$\sqrt[5]{32} - 0,5\sqrt[3]{-216} = 2 - 0,5 \cdot (-6)$.
Выполним умножение: $0,5 \cdot (-6) = -3$.
Затем выполним вычитание: $2 - (-3) = 2 + 3 = 5$.
Ответ: $5$.

2) $\sqrt[3]{-1000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256}$
Сначала вычислим каждый корень.
Кубический корень из -1000: $\sqrt[3]{-1000}$. Так как степень корня нечетная, результат будет отрицательным. Мы ищем число, куб которого равен -1000. Это число -10, так как $(-10)^3 = -1000$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-1000} = -10$.
Корень четвертой степени из 256: $\sqrt[4]{256}$. Мы ищем положительное число, которое в четвертой степени равно 256. Это число 4, так как $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$.
Следовательно, $\sqrt[4]{256} = 4$.
Подставим найденные значения в выражение:
$\sqrt[3]{-1000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256} = -10 - \frac{1}{4} \cdot 4$.
Выполним умножение дроби на число: $\frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.
Выполним вычитание: $-10 - 1 = -11$.
Ответ: $-11$.

3) $\sqrt[5]{\frac{1}{243}} + \sqrt[3]{-0,001} - \sqrt[4]{0,0016}$
Вычислим значение каждого члена выражения по порядку.
Первый член: $\sqrt[5]{\frac{1}{243}}$. Используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{243}}$. Так как $1^5=1$ и $3^5=243$, то $\sqrt[5]{\frac{1}{243}} = \frac{1}{3}$.
Второй член: $\sqrt[3]{-0,001}$. Корень нечетной степени из отрицательного числа отрицателен. Так как $(0,1)^3 = 0,001$, то $(-0,1)^3 = -0,001$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-0,001} = -0,1$.
Третий член: $\sqrt[4]{0,0016}$. Мы ищем положительное число, которое в четвертой степени равно 0,0016. Так как $0,2^4 = (0,2)^2 \cdot (0,2)^2 = 0,04 \cdot 0,04 = 0,0016$.
Следовательно, $\sqrt[4]{0,0016} = 0,2$.
Теперь объединим все части:
$\frac{1}{3} + (-0,1) - 0,2 = \frac{1}{3} - 0,1 - 0,2 = \frac{1}{3} - 0,3$.
Чтобы выполнить вычитание, приведем числа к одному виду. Преобразуем десятичную дробь $0,3$ в обыкновенную: $0,3 = \frac{3}{10}$.
$\frac{1}{3} - \frac{3}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 30:
$\frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{10}{30} - \frac{9}{30} = \frac{10-9}{30} = \frac{1}{30}$.
Ответ: $\frac{1}{30}$.

441. 1) $\sqrt[3]{343 \cdot 0,125}$;

2) $\sqrt[3]{512 \cdot 216}$;

3) $\sqrt[5]{32 \cdot 100000}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{343 \cdot 0,125}$, применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Это позволяет нам записать выражение в виде произведения двух корней: $\sqrt[3]{343} \cdot \sqrt[3]{0,125}$. Вычислим каждый корень по отдельности: $\sqrt[3]{343} = 7$, поскольку $7^3 = 343$. Аналогично, $\sqrt[3]{0,125} = 0,5$, поскольку $0,5^3 = 0,125$. Теперь перемножим полученные значения: $7 \cdot 0,5 = 3,5$.

Ответ: $3,5$

2) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{512 \cdot 216}$ используем то же свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Разделим корень на два: $\sqrt[3]{512} \cdot \sqrt[3]{216}$. Вычислим каждый из них: кубический корень из $512$ равен $8$, так как $8^3 = 512$. Кубический корень из $216$ равен $6$, так как $6^3 = 216$. Умножим результаты: $8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: $48$

3) Для выражения $\sqrt[5]{32 \cdot 100000}$ применим свойство корня из произведения для корня пятой степени: $\sqrt[5]{a \cdot b} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}$. Получаем произведение $\sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{100000}$. Вычислим корень из каждого множителя: корень пятой степени из $32$ равен $2$, так как $2^5 = 32$. Корень пятой степени из $100000$ (что равно $10^5$) равен $10$. Перемножим полученные значения: $2 \cdot 10 = 20$.

Ответ: $20$

442. 1) $\sqrt[3]{5^3 \cdot 7^3};$

2) $\sqrt[4]{11^4 \cdot 3^4};$

3) $\sqrt[5]{(0.2)^5 \cdot 8^5};$

4) $\sqrt[7]{\left(\frac{1}{3}\right)^7 \cdot 21^7}.$

1) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. После этого применим определение корня n-ой степени: $\sqrt[n]{x^n} = x$ (для неотрицательных $x$).
$ \sqrt[3]{5^3 \cdot 7^3} = \sqrt[3]{(5 \cdot 7)^3} = \sqrt[3]{35^3} = 35 $.
Ответ: $35$.

2) Аналогично предыдущему пункту, сначала сгруппируем множители под знаком корня, используя свойство степени произведения:
$ \sqrt[4]{11^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(11 \cdot 3)^4} = \sqrt[4]{33^4} = 33 $.
Ответ: $33$.

3) Применим тот же метод. Объединим множители под знаком корня в одно выражение в степени 5:
$ \sqrt[5]{(0.2)^5 \cdot 8^5} = \sqrt[5]{(0.2 \cdot 8)^5} $.
Вычислим произведение в скобках: $0.2 \cdot 8 = 1.6$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt[5]{1.6^5} = 1.6$.
Ответ: $1.6$.

4) Используем свойство степени произведения, а затем упростим выражение в скобках:
$ \sqrt[7]{(\frac{1}{3})^7 \cdot 21^7} = \sqrt[7]{(\frac{1}{3} \cdot 21)^7} $.
Вычислим произведение в скобках: $\frac{1}{3} \cdot 21 = \frac{21}{3} = 7$.
Следовательно, выражение равно: $\sqrt[7]{7^7} = 7$.
Ответ: $7$.

443. 1) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500}$

2) $\sqrt[3]{0.2} \cdot \sqrt[3]{0.04}$

3) $\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}$

4) $\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16}$

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством корней: произведение корней одной степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений, то есть $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{2 \cdot 500} = \sqrt[3]{1000}$.

Теперь необходимо извлечь кубический корень из 1000. Так как $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$, то $\sqrt[3]{1000} = 10$.

Ответ: 10

2) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt[3]{0,04} = \sqrt[3]{0,2 \cdot 0,04} = \sqrt[3]{0,008}$.

Для извлечения кубического корня из десятичной дроби 0,008, заметим, что $0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$.

Следовательно, $\sqrt[3]{0,008} = 0,2$.

Ответ: 0,2

3) Снова применяем свойство произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{324 \cdot 4} = \sqrt[4]{1296}$.

Чтобы найти корень четвертой степени из 1296, можно подобрать число. Заметим, что $6^2=36$, и $36^2=1296$. Таким образом, $6^4 = 1296$.

Значит, $\sqrt[4]{1296} = 6$.

Другой способ - разложение на множители: $324 = 18^2 = (2 \cdot 3^2)^2 = 2^2 \cdot 3^4$. Тогда:

$\sqrt[4]{324 \cdot 4} = \sqrt[4]{(2^2 \cdot 3^4) \cdot 2^2} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = \sqrt[4]{6^4} = 6$.

Ответ: 6

4) Воспользуемся тем же свойством корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16} = \sqrt[5]{2 \cdot 16} = \sqrt[5]{32}$.

Найдем корень пятой степени из 32. Известно, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Следовательно, $\sqrt[5]{32} = 2$.

Ответ: 2

444. 1) $\sqrt[5]{3^{10} \cdot 2^{15}}$;

2) $\sqrt[3]{2^3 \cdot 5^6}$;

3) $\sqrt[4]{3^{12} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^8}$;

4) $\sqrt[10]{4^{30} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{20}}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами корня n-ой степени: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Применим эти свойства к выражению:

$\sqrt[5]{3^{10} \cdot 2^{15}} = \sqrt[5]{3^{10}} \cdot \sqrt[5]{2^{15}}$

Теперь извлечем корни из каждого множителя, разделив показатель степени на показатель корня:

$3^{\frac{10}{5}} \cdot 2^{\frac{15}{5}} = 3^2 \cdot 2^3 = 9 \cdot 8 = 72$.

Ответ: 72

2) Используем те же свойства, что и в предыдущем примере.

Сначала разделим корень произведения на произведение корней:

$\sqrt[3]{2^3 \cdot 5^6} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5^6}$

Далее извлекаем корни:

$2^{\frac{3}{3}} \cdot 5^{\frac{6}{3}} = 2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$.

Ответ: 50

3) В этом примере сначала упростим подкоренное выражение. Воспользуемся свойствами степеней: $(\frac{1}{a})^m = a^{-m}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(\frac{1}{3})^8 = 3^{-8}$

Тогда выражение под корнем будет:

$3^{12} \cdot 3^{-8} = 3^{12-8} = 3^4$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[4]{3^4} = 3^{\frac{4}{4}} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

4) Для решения этого примера приведем все основания степеней к одному числу — 2. Затем упростим выражение.

Представим $4$ как $2^2$ и $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$:

$4^{30} = (2^2)^{30} = 2^{2 \cdot 30} = 2^{60}$

$(\frac{1}{2})^{20} = (2^{-1})^{20} = 2^{-1 \cdot 20} = 2^{-20}$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\sqrt[10]{4^{30} \cdot (\frac{1}{2})^{20}} = \sqrt[10]{2^{60} \cdot 2^{-20}}$

Сложим показатели степеней под корнем:

$\sqrt[10]{2^{60-20}} = \sqrt[10]{2^{40}}$

Извлечем корень:

$2^{\frac{40}{10}} = 2^4 = 16$.

Ответ: 16

445¹. Извлечь корень:

1) $\sqrt[3]{64x^3z^6};$

2) $\sqrt[4]{a^8b^{12}};$

3) $\sqrt[5]{32x^{10}y^{20}};$

4) $\sqrt[6]{a^{12}b^{18}}.$

1) Для извлечения корня из выражения $\sqrt[3]{64x^3z^6}$ воспользуемся свойством корня из произведения, согласно которому корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя: $\sqrt[n]{abc} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\sqrt[n]{c}$.

Разложим подкоренное выражение на множители и извлечем кубический корень из каждого множителя по отдельности:

$\sqrt[3]{64x^3z^6} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{z^6}$

Вычислим каждый корень. Поскольку корень нечетной степени (3), знак модуля не требуется. Кубический корень из 64 равен 4, так как $4^3 = 64$. Кубический корень из $x^3$ равен $x$. Для извлечения корня из $z^6$ разделим показатель степени на показатель корня: $\sqrt[3]{z^6} = z^{6/3} = z^2$.

Перемножим полученные результаты:

$4 \cdot x \cdot z^2 = 4xz^2$

Ответ: $4xz^2$

2) Для извлечения корня из выражения $\sqrt[4]{a^8b^{12}}$ применим свойство корня из произведения и правило извлечения корня из степени. Так как показатель корня (4) является четным числом, необходимо использовать модуль, поскольку результат извлечения корня четной степени должен быть неотрицательным.

Представим степени подкоренных выражений в виде степени с показателем 4:

$\sqrt[4]{a^8b^{12}} = \sqrt[4]{(a^2)^4 \cdot (b^3)^4}$

Используя свойство $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$, получаем:

$\sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(b^3)^4} = |a^2| \cdot |b^3|$

Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), поэтому его модуль равен самому выражению: $|a^2| = a^2$. Выражение $b^3$ может быть отрицательным (если $b < 0$), поэтому для него знак модуля необходимо сохранить.

Таким образом, итоговый результат: $a^2|b^3|$.

Ответ: $a^2|b^3|$

3) Извлечем корень пятой степени из выражения $\sqrt[5]{32x^{10}y^{20}}$.

Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[5]{32x^{10}y^{20}} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{x^{10}} \cdot \sqrt[5]{y^{20}}$.

Так как показатель корня (5) нечетный, знак модуля не используется. Вычислим каждый множитель: $\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$; $\sqrt[5]{x^{10}} = x^{10/5} = x^2$; $\sqrt[5]{y^{20}} = y^{20/5} = y^4$.

Перемножим результаты:

$2 \cdot x^2 \cdot y^4 = 2x^2y^4$

Ответ: $2x^2y^4$

4) Для извлечения корня из выражения $\sqrt[6]{a^{12}b^{18}}$ воспользуемся теми же правилами, что и в пункте 2, так как корень (6) четной степени.

Представим степени подкоренных выражений в виде степени с показателем 6:

$\sqrt[6]{a^{12}b^{18}} = \sqrt[6]{(a^2)^6 \cdot (b^3)^6}$

Применяя правило $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$, получаем:

$\sqrt[6]{(a^2)^6} \cdot \sqrt[6]{(b^3)^6} = |a^2| \cdot |b^3|$

Выражение $a^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|a^2| = a^2$. Выражение $b^3$ может принимать отрицательные значения (если $b<0$), поэтому знак модуля для него сохраняется.

Итоговый результат: $a^2|b^3|$.

Ответ: $a^2|b^3|$

446. Упростить выражение:

1) $\sqrt[3]{2ab^2} \cdot \sqrt[3]{4a^2b}$;

2) $\sqrt[4]{3a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{27a^2b}$;

3) $\sqrt[4]{\frac{ab}{c}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a^3c}{b}}$;

4) $\sqrt[3]{\frac{16a}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2ab}}$.

1) Для упрощения произведения корней с одинаковым показателем степени, воспользуемся свойством $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$. В данном случае показатель корня $n=3$.
$\sqrt[3]{2ab^2} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} = \sqrt[3]{(2ab^2) \cdot (4a^2b)}$
Умножим выражения под корнем:
$(2ab^2) \cdot (4a^2b) = (2 \cdot 4) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b) = 8a^{1+2}b^{2+1} = 8a^3b^3$
Подставим результат обратно под корень:
$\sqrt[3]{8a^3b^3}$
Извлечем кубический корень. Так как $8 = 2^3$, то:
$\sqrt[3]{8a^3b^3} = \sqrt[3]{2^3 a^3 b^3} = \sqrt[3]{(2ab)^3} = 2ab$
Ответ: $2ab$

2) Используем свойство произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$, где $n=4$.
$\sqrt[4]{3a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{27a^2b} = \sqrt[4]{(3a^2b^3) \cdot (27a^2b)}$
Умножим выражения под корнем:
$(3a^2b^3) \cdot (27a^2b) = (3 \cdot 27) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b) = 81a^{4}b^{4}$
Получаем выражение:
$\sqrt[4]{81a^4b^4} = \sqrt[4]{(3ab)^4}$
По свойству $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$, где $k$ - натуральное число, имеем:
$\sqrt[4]{(3ab)^4} = |3ab|$
Из условия задачи, чтобы исходные выражения $\sqrt[4]{3a^2b^3}$ и $\sqrt[4]{27a^2b}$ были определены в действительных числах, подкоренные выражения должны быть неотрицательны. Так как $a^2 \ge 0$, это требует, чтобы $b^3 \ge 0$ и $b \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
Учитывая, что $b \ge 0$, мы можем вынести его из-под знака модуля: $|3ab| = 3|a|b$.
Ответ: $3|a|b$

3) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$ при $n=4$.
$\sqrt[4]{\frac{ab}{c}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a^3c}{b}} = \sqrt[4]{\frac{ab}{c} \cdot \frac{a^3c}{b}}$
Умножим дроби под корнем:
$\frac{ab}{c} \cdot \frac{a^3c}{b} = \frac{a \cdot a^3 \cdot b \cdot c}{c \cdot b}$
Сокращаем $b$ и $c$ (при условии, что $b \ne 0$ и $c \ne 0$, что следует из области определения исходного выражения):
$= a \cdot a^3 = a^4$
Подставляем упрощенное выражение обратно под корень:
$\sqrt[4]{a^4}$
Так как корень четной степени из переменной в четной степени равен модулю этой переменной ($\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$), получаем:
$= |a|$
Ответ: $|a|$

4) Объединим два корня в один, используя свойство $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$ для $n=3$.
$\sqrt[3]{\frac{16a}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2ab}} = \sqrt[3]{\frac{16a}{b^2} \cdot \frac{1}{2ab}}$
Перемножим подкоренные выражения:
$\frac{16a}{b^2} \cdot \frac{1}{2ab} = \frac{16a}{2ab^3}$
Сократим дробь на $2a$ (при условии $a \ne 0, b \ne 0$ из области определения):
$\frac{16a}{2ab^3} = \frac{8}{b^3}$
Теперь извлечем кубический корень:
$\sqrt[3]{\frac{8}{b^3}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{b^3}} = \frac{\sqrt[3]{2^3}}{b} = \frac{2}{b}$
Ответ: $\frac{2}{b}$

Вычислить (447-448).

447. 1) $ \sqrt[3]{\frac{64}{52}} $;

2) $ \sqrt[4]{\frac{16}{81}} $;

3) $ \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} $;

4) $ \sqrt[5]{7\frac{19}{32}} $.

1) Для вычисления корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. В данном примере, исходя из контекста остальных заданий, наиболее вероятно, что под корнем находится дробь $\frac{64}{125}$, так как и числитель, и знаменатель в этом случае являются полными кубами.

$\sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}}$

Вычислим корни из числителя и знаменателя:
$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.
$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

Таким образом, значение выражения равно $\frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

2) Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}$

Находим корни четвертой степени:
$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.

Следовательно, результат равен $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) Сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24+3}{8} = \frac{27}{8}$

Теперь извлечем кубический корень из полученной дроби:

$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

Вычисляем значения корней:
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Результат равен $\frac{3}{2}$, что можно записать как смешанное число $1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

4) Преобразуем смешанное число, стоящее под знаком корня, в неправильную дробь:

$7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$

Далее вычисляем корень пятой степени из этой дроби:

$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$

Находим значения корней:
$\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$.
$\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.

Результат равен $\frac{3}{2}$, или $1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

448. 1) $ \sqrt[4]{324} : \sqrt[4]{4} $

2) $ \sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2000} $

3) $ \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} $

4) $ \frac{\sqrt[5]{256}}{\sqrt[5]{8}} $

5) $ (\sqrt{25} - \sqrt{45}) : \sqrt{5} $

6) $ (\sqrt[3]{625} - \sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{5} $

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
Применяем это свойство к нашему выражению:
$\sqrt[4]{324} : \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{\frac{324}{4}} = \sqrt[4]{81}$.
Чтобы найти корень четвертой степени из 81, нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 81. Таким числом является 3, поскольку $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Следовательно, $\sqrt[4]{81} = 3$.
Ответ: 3

2) Аналогично первому примеру, используем свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2000} = \sqrt[3]{\frac{128}{2000}}$.
Сократим дробь под знаком корня. Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель. Например, на 8: $128 : 8 = 16$, $2000 : 8 = 250$. Получаем $\frac{16}{250}$. Разделим еще на 2: $16 : 2 = 8$, $250 : 2 = 125$. Получаем дробь $\frac{8}{125}$.
Теперь наше выражение выглядит так: $\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$.
Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5}$, так как $2^3 = 8$ и $5^3 = 125$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

3) Данное выражение является дробью, где числитель и знаменатель — корни одной и той же (третьей) степени. Применяем свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8}$.
Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Ответ: 2

4) Этот пример решается так же, как и предыдущий, с использованием свойства частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[5]{256}}{\sqrt[5]{8}} = \sqrt[5]{\frac{256}{8}}$.
Выполним деление под корнем: $256 : 8 = 32$.
Получаем $\sqrt[5]{32}$.
Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
Ответ: 2

5) Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня, где это возможно.
$\sqrt{25} = 5$.
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Теперь выражение в скобках имеет вид: $(5 - 3\sqrt{5})$.
Далее необходимо разделить это выражение на $\sqrt{5}$:
$(5 - 3\sqrt{5}) : \sqrt{5} = \frac{5 - 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$.
Разделим каждый член числителя на знаменатель:
$\frac{5}{\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$.
Упростим каждое слагаемое. Для первого слагаемого избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.
Второе слагаемое: $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3$.
В итоге получаем: $\sqrt{5} - 3$.
Ответ: $\sqrt{5} - 3$

6) Упростим выражение в скобках, вынеся множитель из-под знака корня.
$\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{125 \cdot 5} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(5\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{5}$.
Выполним вычитание в скобках, так как у нас подобные слагаемые:
$5\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{5} = (5-1)\sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5}$.
Теперь выполним деление:
$4\sqrt[3]{5} : \sqrt[3]{5} = \frac{4\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = 4$.
Ответ: 4

449. Упростить выражение:

1) $\sqrt[5]{a^6 b^7} : \sqrt[5]{ab^2}$;

2) $\sqrt[3]{81x^4 y} : \sqrt[3]{3xy}$;

3) $\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} : \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}}$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt[5]{a^6b^7} : \sqrt[5]{ab^2}$, воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$, так как оба корня имеют степень 5.

$\sqrt[5]{a^6b^7} : \sqrt[5]{ab^2} = \sqrt[5]{\frac{a^6b^7}{ab^2}}$

Далее, сократим подкоренное выражение, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\sqrt[5]{\frac{a^6b^7}{ab^2}} = \sqrt[5]{a^{6-1}b^{7-2}} = \sqrt[5]{a^5b^5}$

Теперь можно извлечь корень пятой степени:

$\sqrt[5]{a^5b^5} = \sqrt[5]{(ab)^5} = ab$

Ответ: $ab$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{81x^4y} : \sqrt[3]{3xy}$ применим то же свойство, так как оба корня кубические:

$\sqrt[3]{81x^4y} : \sqrt[3]{3xy} = \sqrt[3]{\frac{81x^4y}{3xy}}$

Упростим выражение под знаком корня:

$\sqrt[3]{\frac{81}{3} \cdot \frac{x^4}{x} \cdot \frac{y}{y}} = \sqrt[3]{27 \cdot x^{4-1} \cdot y^{1-1}} = \sqrt[3]{27x^3y^0} = \sqrt[3]{27x^3}$

Извлечем кубический корень из произведения:

$\sqrt[3]{27x^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{x^3} = 3x$

Ответ: $3x$

3) Упростим выражение $\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}}$. Показатели корней одинаковы, поэтому объединим их под один знак корня:

$\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}} = \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} \div \frac{y}{9x^2}}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} \cdot \frac{9x^2}{y}} = \sqrt[3]{\frac{3x \cdot 9x^2}{y^2 \cdot y}} = \sqrt[3]{\frac{27x^3}{y^3}}$

Извлечем корень из дроби:

$\sqrt[3]{\left(\frac{3x}{y}\right)^3} = \frac{3x}{y}$

Ответ: $\frac{3x}{y}$

4) Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}}$. Так как показатели корней одинаковы (равны 4), воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:

$\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3} \cdot \frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2ab}{8a^3b^3}}$

Сократим дробь под знаком корня:

$\sqrt[4]{\frac{2}{8} \cdot \frac{a}{a^3} \cdot \frac{b}{b^3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{4} \cdot a^{1-3} \cdot b^{1-3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{4} a^{-2} b^{-2}} = \sqrt[4]{\frac{1}{4a^2b^2}}$

Представим подкоренное выражение как квадрат и упростим, используя свойство $\sqrt[nk]{x^{mk}} = \sqrt[n]{x^m}$:

$\sqrt[4]{\frac{1}{4a^2b^2}} = \sqrt[4]{\frac{1}{(2ab)^2}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{(2ab)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2ab}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2ab}}$