Номер 445, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

445¹. Извлечь корень:

1) $\sqrt[3]{64x^3z^6};$

2) $\sqrt[4]{a^8b^{12}};$

3) $\sqrt[5]{32x^{10}y^{20}};$

4) $\sqrt[6]{a^{12}b^{18}}.$

1) Для извлечения корня из выражения $\sqrt[3]{64x^3z^6}$ воспользуемся свойством корня из произведения, согласно которому корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя: $\sqrt[n]{abc} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\sqrt[n]{c}$.

Разложим подкоренное выражение на множители и извлечем кубический корень из каждого множителя по отдельности:

$\sqrt[3]{64x^3z^6} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{z^6}$

Вычислим каждый корень. Поскольку корень нечетной степени (3), знак модуля не требуется. Кубический корень из 64 равен 4, так как $4^3 = 64$. Кубический корень из $x^3$ равен $x$. Для извлечения корня из $z^6$ разделим показатель степени на показатель корня: $\sqrt[3]{z^6} = z^{6/3} = z^2$.

Перемножим полученные результаты:

$4 \cdot x \cdot z^2 = 4xz^2$

Ответ: $4xz^2$

2) Для извлечения корня из выражения $\sqrt[4]{a^8b^{12}}$ применим свойство корня из произведения и правило извлечения корня из степени. Так как показатель корня (4) является четным числом, необходимо использовать модуль, поскольку результат извлечения корня четной степени должен быть неотрицательным.

Представим степени подкоренных выражений в виде степени с показателем 4:

$\sqrt[4]{a^8b^{12}} = \sqrt[4]{(a^2)^4 \cdot (b^3)^4}$

Используя свойство $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$, получаем:

$\sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(b^3)^4} = |a^2| \cdot |b^3|$

Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), поэтому его модуль равен самому выражению: $|a^2| = a^2$. Выражение $b^3$ может быть отрицательным (если $b < 0$), поэтому для него знак модуля необходимо сохранить.

Таким образом, итоговый результат: $a^2|b^3|$.

Ответ: $a^2|b^3|$

3) Извлечем корень пятой степени из выражения $\sqrt[5]{32x^{10}y^{20}}$.

Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[5]{32x^{10}y^{20}} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{x^{10}} \cdot \sqrt[5]{y^{20}}$.

Так как показатель корня (5) нечетный, знак модуля не используется. Вычислим каждый множитель: $\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$; $\sqrt[5]{x^{10}} = x^{10/5} = x^2$; $\sqrt[5]{y^{20}} = y^{20/5} = y^4$.

Перемножим результаты:

$2 \cdot x^2 \cdot y^4 = 2x^2y^4$

Ответ: $2x^2y^4$

4) Для извлечения корня из выражения $\sqrt[6]{a^{12}b^{18}}$ воспользуемся теми же правилами, что и в пункте 2, так как корень (6) четной степени.

Представим степени подкоренных выражений в виде степени с показателем 6:

$\sqrt[6]{a^{12}b^{18}} = \sqrt[6]{(a^2)^6 \cdot (b^3)^6}$

Применяя правило $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$, получаем:

$\sqrt[6]{(a^2)^6} \cdot \sqrt[6]{(b^3)^6} = |a^2| \cdot |b^3|$

Выражение $a^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|a^2| = a^2$. Выражение $b^3$ может принимать отрицательные значения (если $b<0$), поэтому знак модуля для него сохраняется.

Итоговый результат: $a^2|b^3|$.

Ответ: $a^2|b^3|$