Номер 440, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (440–444).

440. 1) $5\sqrt[5]{32} - 0,5\sqrt[3]{-216};$

2) $\sqrt[3]{-1000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256};$

3) $5\sqrt[5]{\frac{1}{243}} + \sqrt[3]{-0,001} - \sqrt[4]{0,0016}.$

1) $\sqrt[5]{32} - 0,5\sqrt[3]{-216}$
Для вычисления этого выражения, найдем значения каждого корня по отдельности.
Корень пятой степени из 32: $\sqrt[5]{32}$. Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает 32. Таким числом является 2, поскольку $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Значит, $\sqrt[5]{32} = 2$.
Кубический корень из -216: $\sqrt[3]{-216}$. Корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом. Таким образом, $\sqrt[3]{-216} = -\sqrt[3]{216}$. Число, которое при возведении в куб дает 216, это 6, так как $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-216} = -6$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$\sqrt[5]{32} - 0,5\sqrt[3]{-216} = 2 - 0,5 \cdot (-6)$.
Выполним умножение: $0,5 \cdot (-6) = -3$.
Затем выполним вычитание: $2 - (-3) = 2 + 3 = 5$.
Ответ: $5$.

2) $\sqrt[3]{-1000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256}$
Сначала вычислим каждый корень.
Кубический корень из -1000: $\sqrt[3]{-1000}$. Так как степень корня нечетная, результат будет отрицательным. Мы ищем число, куб которого равен -1000. Это число -10, так как $(-10)^3 = -1000$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-1000} = -10$.
Корень четвертой степени из 256: $\sqrt[4]{256}$. Мы ищем положительное число, которое в четвертой степени равно 256. Это число 4, так как $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$.
Следовательно, $\sqrt[4]{256} = 4$.
Подставим найденные значения в выражение:
$\sqrt[3]{-1000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256} = -10 - \frac{1}{4} \cdot 4$.
Выполним умножение дроби на число: $\frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.
Выполним вычитание: $-10 - 1 = -11$.
Ответ: $-11$.

3) $\sqrt[5]{\frac{1}{243}} + \sqrt[3]{-0,001} - \sqrt[4]{0,0016}$
Вычислим значение каждого члена выражения по порядку.
Первый член: $\sqrt[5]{\frac{1}{243}}$. Используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{243}}$. Так как $1^5=1$ и $3^5=243$, то $\sqrt[5]{\frac{1}{243}} = \frac{1}{3}$.
Второй член: $\sqrt[3]{-0,001}$. Корень нечетной степени из отрицательного числа отрицателен. Так как $(0,1)^3 = 0,001$, то $(-0,1)^3 = -0,001$.
Следовательно, $\sqrt[3]{-0,001} = -0,1$.
Третий член: $\sqrt[4]{0,0016}$. Мы ищем положительное число, которое в четвертой степени равно 0,0016. Так как $0,2^4 = (0,2)^2 \cdot (0,2)^2 = 0,04 \cdot 0,04 = 0,0016$.
Следовательно, $\sqrt[4]{0,0016} = 0,2$.
Теперь объединим все части:
$\frac{1}{3} + (-0,1) - 0,2 = \frac{1}{3} - 0,1 - 0,2 = \frac{1}{3} - 0,3$.
Чтобы выполнить вычитание, приведем числа к одному виду. Преобразуем десятичную дробь $0,3$ в обыкновенную: $0,3 = \frac{3}{10}$.
$\frac{1}{3} - \frac{3}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 30:
$\frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{10}{30} - \frac{9}{30} = \frac{10-9}{30} = \frac{1}{30}$.
Ответ: $\frac{1}{30}$.