Номер 443, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

443. 1) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500}$

2) $\sqrt[3]{0.2} \cdot \sqrt[3]{0.04}$

3) $\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}$

4) $\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16}$

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством корней: произведение корней одной степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений, то есть $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{2 \cdot 500} = \sqrt[3]{1000}$.

Теперь необходимо извлечь кубический корень из 1000. Так как $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$, то $\sqrt[3]{1000} = 10$.

Ответ: 10

2) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt[3]{0,04} = \sqrt[3]{0,2 \cdot 0,04} = \sqrt[3]{0,008}$.

Для извлечения кубического корня из десятичной дроби 0,008, заметим, что $0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$.

Следовательно, $\sqrt[3]{0,008} = 0,2$.

Ответ: 0,2

3) Снова применяем свойство произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{324 \cdot 4} = \sqrt[4]{1296}$.

Чтобы найти корень четвертой степени из 1296, можно подобрать число. Заметим, что $6^2=36$, и $36^2=1296$. Таким образом, $6^4 = 1296$.

Значит, $\sqrt[4]{1296} = 6$.

Другой способ - разложение на множители: $324 = 18^2 = (2 \cdot 3^2)^2 = 2^2 \cdot 3^4$. Тогда:

$\sqrt[4]{324 \cdot 4} = \sqrt[4]{(2^2 \cdot 3^4) \cdot 2^2} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = \sqrt[4]{6^4} = 6$.

Ответ: 6

4) Воспользуемся тем же свойством корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16} = \sqrt[5]{2 \cdot 16} = \sqrt[5]{32}$.

Найдем корень пятой степени из 32. Известно, что $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Следовательно, $\sqrt[5]{32} = 2$.

Ответ: 2