Номер 439, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

439. Решить уравнение:

1) $x^4 = 256$

2) $x^5 = -\frac{1}{32}$

3) $5x^5 = -160$

4) $2x^6 = 128$

1) $x^4 = 256$

Данное уравнение имеет вид $x^{2n} = a$, где показатель степени $2n=4$ — четное число, а правая часть $a = 256$ — положительное число. В этом случае уравнение имеет два действительных корня.

Чтобы найти $x$, извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

Найдем значение $\sqrt[4]{256}$. Поскольку $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Ответ: $x = \pm 4$.

2) $x^5 = -\frac{1}{32}$

Это уравнение вида $x^{2n+1} = a$, где показатель степени $2n+1=5$ — нечетное число. Уравнение с нечетной степенью всегда имеет один действительный корень.

Для нахождения $x$ извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно представить как минус корень из положительного числа:

$x = - \sqrt[5]{\frac{1}{32}}$

Поскольку $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Соответственно, $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, получаем решение:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

3) $5x^5 = -160$

Вначале упростим уравнение, разделив обе его части на коэффициент 5:

$x^5 = \frac{-160}{5}$

$x^5 = -32$

Получили уравнение с нечетным показателем степени, которое имеет один действительный корень.

Извлечем корень пятой степени из обеих частей:

$x = \sqrt[5]{-32}$

Так как $(-2)^5 = -32$, корень равен -2.

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

4) $2x^6 = 128$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x^6$:

$x^6 = \frac{128}{2}$

$x^6 = 64$

Мы получили уравнение с четным показателем степени $6$ и положительной правой частью $64$. Такое уравнение имеет два действительных корня.

Извлечем корень шестой степени из обеих частей:

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Найдем значение $\sqrt[6]{64}$. Поскольку $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $x = \pm 2$.