Номер 449, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

449. Упростить выражение:

1) $\sqrt[5]{a^6 b^7} : \sqrt[5]{ab^2}$;

2) $\sqrt[3]{81x^4 y} : \sqrt[3]{3xy}$;

3) $\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} : \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}}$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt[5]{a^6b^7} : \sqrt[5]{ab^2}$, воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$, так как оба корня имеют степень 5.

$\sqrt[5]{a^6b^7} : \sqrt[5]{ab^2} = \sqrt[5]{\frac{a^6b^7}{ab^2}}$

Далее, сократим подкоренное выражение, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\sqrt[5]{\frac{a^6b^7}{ab^2}} = \sqrt[5]{a^{6-1}b^{7-2}} = \sqrt[5]{a^5b^5}$

Теперь можно извлечь корень пятой степени:

$\sqrt[5]{a^5b^5} = \sqrt[5]{(ab)^5} = ab$

Ответ: $ab$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{81x^4y} : \sqrt[3]{3xy}$ применим то же свойство, так как оба корня кубические:

$\sqrt[3]{81x^4y} : \sqrt[3]{3xy} = \sqrt[3]{\frac{81x^4y}{3xy}}$

Упростим выражение под знаком корня:

$\sqrt[3]{\frac{81}{3} \cdot \frac{x^4}{x} \cdot \frac{y}{y}} = \sqrt[3]{27 \cdot x^{4-1} \cdot y^{1-1}} = \sqrt[3]{27x^3y^0} = \sqrt[3]{27x^3}$

Извлечем кубический корень из произведения:

$\sqrt[3]{27x^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{x^3} = 3x$

Ответ: $3x$

3) Упростим выражение $\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}}$. Показатели корней одинаковы, поэтому объединим их под один знак корня:

$\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}} = \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} \div \frac{y}{9x^2}}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} \cdot \frac{9x^2}{y}} = \sqrt[3]{\frac{3x \cdot 9x^2}{y^2 \cdot y}} = \sqrt[3]{\frac{27x^3}{y^3}}$

Извлечем корень из дроби:

$\sqrt[3]{\left(\frac{3x}{y}\right)^3} = \frac{3x}{y}$

Ответ: $\frac{3x}{y}$

4) Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}}$. Так как показатели корней одинаковы (равны 4), воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:

$\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3} \cdot \frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2ab}{8a^3b^3}}$

Сократим дробь под знаком корня:

$\sqrt[4]{\frac{2}{8} \cdot \frac{a}{a^3} \cdot \frac{b}{b^3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{4} \cdot a^{1-3} \cdot b^{1-3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{4} a^{-2} b^{-2}} = \sqrt[4]{\frac{1}{4a^2b^2}}$

Представим подкоренное выражение как квадрат и упростим, используя свойство $\sqrt[nk]{x^{mk}} = \sqrt[n]{x^m}$:

$\sqrt[4]{\frac{1}{4a^2b^2}} = \sqrt[4]{\frac{1}{(2ab)^2}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{(2ab)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2ab}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2ab}}$