Номер 455, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

455. 1) $\frac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}}$;

2) $\frac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}}$;

3) $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[6]{27^2} - \sqrt{\sqrt[3]{64}}$;

4) $\sqrt{3\frac{3}{8}} + \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\frac{1}{2}} - \sqrt{256}$;

5) $\sqrt[4]{17 - \sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17 + \sqrt{33}}$.

1) Исходное выражение: $\frac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}}$.
Используем свойство корней $\frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}} = \sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}}$:
$\sqrt[3]{\frac{49 \cdot 112}{250}}$
Разложим числа под корнем на множители:
$49 = 7^2$
$112 = 16 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7$
$250 = 25 \cdot 10 = 5^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 5^3$
Подставим разложения в выражение:
$\sqrt[3]{\frac{7^2 \cdot (2^4 \cdot 7)}{2 \cdot 5^3}} = \sqrt[3]{\frac{7^3 \cdot 2^4}{2 \cdot 5^3}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt[3]{\frac{7^3 \cdot 2^3}{5^3}} = \sqrt[3]{(\frac{7 \cdot 2}{5})^3}$
Извлечем кубический корень:
$\frac{7 \cdot 2}{5} = \frac{14}{5}$
Ответ: $\frac{14}{5}$

2) Исходное выражение: $\frac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}}$.
Применим свойство $\frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}} = \sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}}$:
$\sqrt[4]{\frac{54 \cdot 120}{5}}$
Сократим дробь:
$\sqrt[4]{54 \cdot 24}$
Разложим числа на множители:
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$
$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
Подставим в выражение:
$\sqrt[4]{(2 \cdot 3^3) \cdot (2^3 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^1 \cdot 2^3 \cdot 3^3 \cdot 3^1} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}$
Используем свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 2 \cdot 3 = 6$
Ответ: 6

3) Исходное выражение: $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[6]{27^2} - \sqrt{\sqrt[3]{64}}$.
Решим по частям.
Первый член: $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{\frac{32}{2}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Второй член: $\sqrt[6]{27^2} = \sqrt[6]{(3^3)^2} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Третий член: $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$. Можно вычислить последовательно: $\sqrt[3]{64} = 4$, затем $\sqrt{4} = 2$. Или использовать свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$: $\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.
Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$2 + 3 - 2 = 3$
Ответ: 3

4) Исходное выражение: $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}} + \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\frac{1}{2}} - \sqrt{\sqrt{256}}$.
Решим по частям, соблюдая порядок действий.
Сначала вычислим произведение корней: $\sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\frac{1}{2}}$.
Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.
$\sqrt[4]{18 \cdot \frac{9}{2}} = \sqrt[4]{9 \cdot 9} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Теперь вычислим остальные члены выражения.
Первый член: $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$. Преобразуем смешанную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}$.
$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$.
Третий член: $\sqrt{\sqrt{256}}$. Вычислим внутренний корень: $\sqrt{256}=16$. Тогда $\sqrt{16} = 4$.
Теперь подставим все значения в исходное выражение:
$\frac{3}{2} + 3 - 4 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

5) Исходное выражение: $\sqrt[4]{17 - \sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17 + \sqrt{33}}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:
$\sqrt[4]{(17 - \sqrt{33}) \cdot (17 + \sqrt{33})}$
Выражение под корнем является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=17$ и $b=\sqrt{33}$.
$(17 - \sqrt{33})(17 + \sqrt{33}) = 17^2 - (\sqrt{33})^2 = 289 - 33 = 256$.
Теперь нужно вычислить $\sqrt[4]{256}$.
Так как $256 = 4^4$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.
Ответ: 4