Номер 457, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

457. 1) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} + \left(\sqrt[3]{a^4}\right)^3$;

2) $\left(\sqrt[3]{x^2}\right)^3 + 2\left(\sqrt[4]{x}\right)^8$;

3) $\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}} - \left(\sqrt[5]{xy^2}\right)^5$;

4) $\left(\left(\sqrt[5]{a^5\sqrt{a}}\right)^5 - \sqrt[5]{a}\right) : \sqrt[10]{a^2}$.

1) Для решения выражения $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} + (\sqrt{\sqrt[3]{a^4}})^3$ упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}$. Используя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[nm]{b}$, получаем: $\sqrt[3 \cdot 3]{a^{18}} = \sqrt[9]{a^{18}}$.
Далее, используя свойство $\sqrt[n]{b^m} = b^{m/n}$: $a^{18/9} = a^2$.
Второе слагаемое: $(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}})^3$. Сначала упростим выражение в скобках: $\sqrt{\sqrt[3]{a^4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^4} = \sqrt[6]{a^4}$.
Теперь возведем в степень, используя свойство $(\sqrt[n]{b})^m = \sqrt[n]{b^m}$: $(\sqrt[6]{a^4})^3 = \sqrt[6]{(a^4)^3} = \sqrt[6]{a^{12}} = a^{12/6} = a^2$.
Сложим полученные результаты: $a^2 + a^2 = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

2) Для решения выражения $(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3 + 2(\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8$ упростим каждое слагаемое. Предполагаем, что $x \ge 0$, чтобы все корни были определены.
Первое слагаемое: $(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3$. Упростим корень: $\sqrt{\sqrt[3]{x^2}} = \sqrt[2 \cdot 3]{x^2} = \sqrt[6]{x^2}$.
Возведем в степень: $(\sqrt[6]{x^2})^3 = \sqrt[6]{(x^2)^3} = \sqrt[6]{x^6}$. Так как по предположению $x \ge 0$, то $\sqrt[6]{x^6} = x$.
Второе слагаемое: $2(\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8$. Упростим корень: $\sqrt[4]{\sqrt{x}} = \sqrt[4 \cdot 2]{x} = \sqrt[8]{x}$.
Возведем в степень: $(\sqrt[8]{x})^8 = x$.
Таким образом, второе слагаемое равно $2x$.
Сложим полученные результаты: $x + 2x = 3x$.
Ответ: $3x$.

3) Для решения выражения $\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}} - (\sqrt[5]{xy^2})^5$ упростим уменьшаемое и вычитаемое. Предполагаем, что переменные, стоящие под знаком корня четной степени, неотрицательны, то есть $x \ge 0$.
Уменьшаемое: $\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}}$. Используя свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[nm]{b}$: $\sqrt[3 \cdot 2]{x^6y^{12}} = \sqrt[6]{x^6y^{12}} = \sqrt[6]{x^6(y^2)^6} = \sqrt[6]{(xy^2)^6}$.
Так как $x \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то $xy^2 \ge 0$, поэтому $\sqrt[6]{(xy^2)^6} = xy^2$.
Вычитаемое: $(\sqrt[5]{xy^2})^5$. Используя свойство $(\sqrt[n]{b})^n = b$: $(\sqrt[5]{xy^2})^5 = xy^2$.
Выполним вычитание: $xy^2 - xy^2 = 0$.
Ответ: $0$.

4) Для решения выражения $((\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}})^5 - \sqrt[5]{a}) : \sqrt[10]{a^2}$ сначала упростим выражение в скобках (делимое), а затем делитель. Предполагаем, что $a \ge 0$.
Упростим выражение в скобках: $(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}})^5 - \sqrt[5]{a}$.
Используя свойство $(\sqrt[n]{b})^n = b$, первая часть выражения в скобках становится: $(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}})^5 = a\sqrt[5]{a}$.
Теперь выражение в скобках выглядит так: $a\sqrt[5]{a} - \sqrt[5]{a}$. Вынесем общий множитель $\sqrt[5]{a}$ за скобки: $(a-1)\sqrt[5]{a}$.
Теперь упростим делитель: $\sqrt[10]{a^2}$. Используя свойство $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{b^m}$ (или переходя к степеням с рациональным показателем $a^{2/10} = a^{1/5}$), получаем: $\sqrt[10]{a^2} = \sqrt[5]{a}$.
Выполним деление, предполагая $a \ne 0$: $\frac{(a-1)\sqrt[5]{a}}{\sqrt[5]{a}} = a-1$.
Ответ: $a-1$.