Номер 463, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

463. Доказать, что:

1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}} = 2;$

2) $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} = 3.$

1) Для доказательства равенства $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 2$ преобразуем выражения под знаками корня, выделив в них полные квадраты.
Заметим, что подкоренные выражения похожи на формулы квадрата суммы и разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Рассмотрим первое слагаемое: $4 + 2\sqrt{3}$. Мы можем представить $4$ как $3 + 1$.
$4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} + 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1$.
Аналогично для второго слагаемого: $4 - 2\sqrt{3}$.
$4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$, так как $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, то $\sqrt{3}-1 > 0$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1 = 2$.
Мы получили, что левая часть равна $2$, что соответствует правой части равенства. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: равенство верно.

2) Для доказательства равенства $\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 3$ обозначим левую часть через $x$.
$x = \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}$.
Возведем обе части этого уравнения в третью степень, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.
Пусть $a = \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}}$ и $b = \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}$. Тогда $x = a+b$.
$x^3 = (\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}})^3$
$x^3 = (\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}})^3 + (\sqrt[3]{9 - \sqrt{80}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} \cdot \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} \cdot (\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}})$.
Упростим отдельные части этого выражения:
Сумма кубов: $(9 + \sqrt{80}) + (9 - \sqrt{80}) = 18$.
Произведение корней: $\sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})(9 - \sqrt{80})} = \sqrt[3]{9^2 - (\sqrt{80})^2} = \sqrt[3]{81 - 80} = \sqrt[3]{1} = 1$.
Выражение в скобках — это наш исходный $x$.
Подставим все в уравнение для $x^3$:
$x^3 = 18 + 3 \cdot 1 \cdot x$
Получаем кубическое уравнение: $x^3 - 3x - 18 = 0$.
Найдем его корни. Попробуем подобрать целый корень среди делителей свободного члена $(-18)$: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \ldots$.
Проверим $x = 3$: $3^3 - 3 \cdot 3 - 18 = 27 - 9 - 18 = 18 - 18 = 0$.
Таким образом, $x = 3$ является корнем уравнения. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 - 3x - 18$ на $(x - 3)$, в результате чего получим $(x-3)(x^2+3x+6)=0$.
Для квадратного уравнения $x^2+3x+6=0$ найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$.
Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.
Исходное выражение $x$ является действительным числом, поэтому единственным решением является $x=3$. Следовательно, равенство доказано.
Ответ: равенство верно.