Номер 466, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

466. Упростить выражение:

1) $\frac{\sqrt{(x+3)^2 - 12x}}{\sqrt[4]{x^3} - \frac{3}{\sqrt[4]{x}}}$;

2) $\frac{\sqrt{a - \sqrt{4(a-1)}} + \sqrt{a + \sqrt{4(a-1)}}}{\sqrt{a^2 - 4(a-1)}}$;

3) $\left(\left(\frac{a^2 - b\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b}} + a\sqrt[3]{b}\right) : \left(a + \sqrt[6]{a^3b^2}\right) - \sqrt[3]{b}\right)^2$;

4) $\left(\sqrt{x + \frac{2xy}{1+y^2}} + \sqrt{x - \frac{2xy}{1+y^2}}\right) \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{y^2}}$;

5) $\left(\sqrt[3]{\frac{x^3 + 2ax^2 + a^2x}{x-a}} - \sqrt[3]{\frac{x^3 - 2ax^2 + a^2x}{x+a}}\right)^{-1} \cdot \left(\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right) - \frac{x}{a^2}$;

6) $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt[4]{bx^3} + \sqrt[4]{a^2bx} + \sqrt[4]{bx}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} + bx + 3}{x\left(\sqrt{b} + \sqrt[3]{3x^{-1}}\right)^2}$.

1)

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $\sqrt{(x+3)^2 - 12x} = \sqrt{x^2 + 6x + 9 - 12x} = \sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.

Знаменатель: $\sqrt[4]{x^3} - \frac{3}{\sqrt[4]{x}} = \frac{(\sqrt[4]{x^3})(\sqrt[4]{x}) - 3}{\sqrt[4]{x}} = \frac{\sqrt[4]{x^4} - 3}{\sqrt[4]{x}} = \frac{|x| - 3}{\sqrt[4]{x}}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) выражения определяется условиями: $x > 0$ (из-за корней $\sqrt[4]{x}$ и $\sqrt[4]{x^3}$ в знаменателе) и знаменатель не равен нулю, т.е. $|x|-3 \neq 0 \implies x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 3) \cup (3, \infty)$.

При $x>0$ имеем $|x|=x$. Исходное выражение принимает вид: $\frac{|x-3|}{\frac{x-3}{\sqrt[4]{x}}} = \frac{|x-3|}{x-3}\sqrt[4]{x}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x > 3$, то $x-3 > 0$ и $|x-3| = x-3$. Выражение равно $\frac{x-3}{x-3}\sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{x}$.

2. Если $0 < x < 3$, то $x-3 < 0$ и $|x-3| = -(x-3)$. Выражение равно $\frac{-(x-3)}{x-3}\sqrt[4]{x} = -\sqrt[4]{x}$.

Ответ: $\begin{cases} \sqrt[4]{x}, & \text{при } x > 3 \\ -\sqrt[4]{x}, & \text{при } 0 < x < 3 \end{cases}$.

2)

Преобразуем подкоренные выражения, используя формулу сложного радикала $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ или выделение полного квадрата. Заметим, что $\sqrt{4(a-1)} = 2\sqrt{a-1}$.

ОДЗ: $a-1 \ge 0 \implies a \ge 1$. Также знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{a^2 - 4(a-1)} \neq 0 \implies \sqrt{a^2-4a+4} \neq 0 \implies \sqrt{(a-2)^2} \neq 0 \implies a \neq 2$. Таким образом, ОДЗ: $a \in [1, 2) \cup (2, \infty)$.

Упростим выражения в числителе