Номер 473, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

473. Найти значение выражения:

1) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}$ при $a = 0,16$;

2) $\sqrt{b} : \sqrt[6]{b}$ при $b = 0,027$;

3) $\frac{\sqrt{x} : \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[6]{x}}$ при $x = 1,33$;

4) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^5}$ при $a = 3,75$.

1) Сначала упростим выражение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}$. Для этого представим корни в виде степеней с рациональными показателями: $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$ и $\sqrt[6]{a} = a^{1/6}$. Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), получаем: $a^{1/3} \cdot a^{1/6} = a^{1/3 + 1/6}$. Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 6: $a^{2/6 + 1/6} = a^{3/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}$. Теперь подставим в полученное выражение значение $a = 0,16$: $\sqrt{0,16} = 0,4$.
Ответ: 0,4

2) Упростим выражение $\sqrt{b} : \sqrt[6]{b}$. Представим корни в виде степеней: $\sqrt{b} = b^{1/2}$ и $\sqrt[6]{b} = b^{1/6}$. Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($x^m : x^n = x^{m-n}$), получаем: $b^{1/2} : b^{1/6} = b^{1/2 - 1/6}$. Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 6: $b^{3/6 - 1/6} = b^{2/6} = b^{1/3} = \sqrt[3]{b}$. Теперь подставим значение $b = 0,027$ в упрощенное выражение: $\sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{27/1000} = 3/10 = 0,3$.
Ответ: 0,3

3) Упростим выражение $\frac{\sqrt{x} : \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[6]{x}}$. Запись может быть интерпретирована по-разному. В подобных задачах часто предполагается порядок действий, который приводит к максимальному упрощению. Будем считать, что выражение имеет вид $\sqrt{x} : (\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[6]{x}})$. Представим все корни в виде степеней с рациональными показателями: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$ и $\sqrt[6]{x} = x^{1/6}$. Сначала упростим делитель: $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[6]{x}} = \frac{x^{2/3}}{x^{1/6}} = x^{2/3 - 1/6} = x^{4/6 - 1/6} = x^{3/6} = x^{1/2}$. Теперь все выражение принимает вид: $\sqrt{x} : x^{1/2} = x^{1/2} : x^{1/2} = 1$. Результат равен 1 при любом положительном значении $x$. Таким образом, при $x = 1,33$ значение выражения также равно 1.
Ответ: 1

4) Упростим выражение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^5}$. Представим корни в виде степеней: $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$, $\sqrt[4]{a} = a^{1/4}$ и $\sqrt[12]{a^5} = a^{5/12}$. Выражение примет вид: $a^{1/3} \cdot a^{1/4} \cdot a^{5/12}$. Используя свойство умножения степеней, сложим показатели: $a^{1/3 + 1/4 + 5/12}$. Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 12: $a^{4/12 + 3/12 + 5/12} = a^{(4+3+5)/12} = a^{12/12} = a^1 = a$. Выражение упрощается до $a$. Следовательно, при $a = 3,75$ значение выражения равно 3,75.
Ответ: 3,75