Номер 479, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

479. Упростить выражение

$\frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} - \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}-c^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2-4cb}{c-b}$.

Запишем исходное выражение:

$$ \frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2 - 4cb}{c-b} $$

Для начала преобразуем вторую дробь. Изменим знак в знаменателе $b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}} = -(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ и вынесем минус перед всей дробью. Это позволит нам поменять знак перед второй дробью с минуса на плюс:

$$ \frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2 - 4cb}{c-b} $$

Теперь приведем первые две дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для них является $(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$. По формуле разности квадратов это выражение равно $(c^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = c-b$.

Заметим, что это знаменатель третьей дроби. Таким образом, можно привести все выражение к общему знаменателю $c-b$.

Сначала сложим первые две дроби:

$$ \frac{c^{\frac{3}{2}}(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) + cb^{\frac{1}{2}}(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{c-b} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ c^{\frac{3}{2}} \cdot c^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c \cdot c^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c \cdot b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = c^2 - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + cb $$

После приведения подобных слагаемых в числителе получаем:

$$ c^2 + cb $$

Таким образом, сумма первых двух дробей равна $\frac{c^2 + cb}{c-b}$.

Теперь добавим к этому результату третью дробь:

$$ \frac{c^2 + cb}{c-b} + \frac{2c^2 - 4cb}{c-b} = \frac{c^2 + cb + 2c^2 - 4cb}{c-b} $$

Сложим подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{(c^2 + 2c^2) + (cb - 4cb)}{c-b} = \frac{3c^2 - 3cb}{c-b} $$

Вынесем за скобки общий множитель $3c$ в числителе:

$$ \frac{3c(c-b)}{c-b} $$

Сократим дробь на $(c-b)$, учитывая, что $c \neq b$, иначе знаменатель обращается в ноль.

$$ 3c $$

Ответ: $3c$