Номер 485, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

485. Сравнить с единицей число:

1) $2^{-2}$;

2) $(0,013)^{-1}$;

3) $(\frac{2}{7})^5$;

4) $27^{1,5}$;

5) $2^{-\sqrt{5}}$;

6) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$;

7) $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2}$;

8) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3}$.

Для сравнения степенного выражения $a^b$ с единицей ($1$), используется свойство монотонности показательной функции $y=a^x$.

1. Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что если показатель $b > 0$, то $a^b > a^0 = 1$. Если же показатель $b < 0$, то $a^b < a^0 = 1$.

2. Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что если показатель $b > 0$, то $a^b < a^0 = 1$. Если же показатель $b < 0$, то $a^b > a^0 = 1$.

Применим эти правила для решения каждого из пунктов.

1) $2^{-2}$
Основание $a = 2 > 1$. Показатель $b = -2 < 0$. Так как основание больше единицы, а показатель отрицательный, значение выражения меньше единицы.
Проверка: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Действительно, $\frac{1}{4} < 1$.
Ответ: $2^{-2} < 1$.

2) $(0,013)^{-1}$
Основание $a = 0,013$. Так как $0 < 0,013 < 1$. Показатель $b = -1 < 0$. Так как основание меньше единицы, а показатель отрицательный, значение выражения больше единицы.
Проверка: $(0,013)^{-1} = \frac{1}{0,013} = \frac{1000}{13}$. Так как $1000 > 13$, дробь $\frac{1000}{13} > 1$.
Ответ: $(0,013)^{-1} > 1$.

3) $(\frac{2}{7})^5$
Основание $a = \frac{2}{7}$. Так как $0 < \frac{2}{7} < 1$. Показатель $b = 5 > 0$. Так как основание меньше единицы, а показатель положительный, значение выражения меньше единицы.
Ответ: $(\frac{2}{7})^5 < 1$.

4) $27^{1,5}$
Основание $a = 27 > 1$. Показатель $b = 1,5 > 0$. Так как основание больше единицы, а показатель положительный, значение выражения больше единицы.
Ответ: $27^{1,5} > 1$.

5) $2^{-\sqrt{5}}$
Основание $a = 2 > 1$. Показатель $b = -\sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 0$, то $b = -\sqrt{5} < 0$. Поскольку основание больше единицы, а показатель отрицательный, значение выражения меньше единицы.
Ответ: $2^{-\sqrt{5}} < 1$.

6) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$
Основание $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$. Показатель $b = \sqrt{3} > 0$. Поскольку основание меньше единицы, а показатель положительный, значение выражения меньше единицы.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < 1$.

7) $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2}$
Сначала определим основание: $a = \frac{\pi}{4}$. Зная, что $\pi \approx 3,14$, получаем, что $\pi < 4$, значит $a = \frac{\pi}{4} < 1$. Основание находится в интервале $0 < a < 1$.
Теперь определим знак показателя: $b = \sqrt{5}-2$. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, показатель $b = \sqrt{5}-2 > 0$.
Поскольку основание меньше единицы, а показатель положительный, значение выражения меньше единицы.
Ответ: $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2} < 1$.

8) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3}$
Основание $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$.
Теперь определим знак показателя: $b = \sqrt{8}-3$. Сравним $\sqrt{8}$ и $3$. Так как $8 < 9$, то $\sqrt{8} < \sqrt{9} = 3$. Следовательно, показатель $b = \sqrt{8}-3 < 0$.
Поскольку основание меньше единицы, а показатель отрицательный, значение выражения больше единицы.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3} > 1$.