Номер 491, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

491. Вычислить:

1) $(2^{5/3} \cdot 5^{-1/3} - 5^{5/3} \cdot 2^{-1/3}) \sqrt[3]{10}$;

2) $(5^{1/4} : 2^{3/4} - 2^{1/4} : 5^{3/4}) \sqrt[4]{1000}.$

1) Решим выражение $(2^{\frac{5}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}} - 5^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}) \sqrt[3]{10}$.
Сначала преобразуем выражение в скобках. Для этого вынесем за скобки общий множитель с наименьшими показателями степени, то есть $2^{-\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}$:
$2^{\frac{5}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}} - 5^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^{\frac{5}{3}-(-\frac{1}{3})} \cdot 5^{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})} - 5^{\frac{5}{3}-(-\frac{1}{3})} \cdot 2^{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})})$
$= (2 \cdot 5)^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^{\frac{5}{3}+\frac{1}{3}} \cdot 5^0 - 5^{\frac{5}{3}+\frac{1}{3}} \cdot 2^0) = 10^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^{\frac{6}{3}} - 5^{\frac{6}{3}}) = 10^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^2 - 5^2)$
$= 10^{-\frac{1}{3}} \cdot (4 - 25) = -21 \cdot 10^{-\frac{1}{3}}$
Теперь преобразуем второй множитель: $\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}$.
Перемножим полученные выражения:
$(-21 \cdot 10^{-\frac{1}{3}}) \cdot 10^{\frac{1}{3}} = -21 \cdot 10^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = -21 \cdot 10^0 = -21 \cdot 1 = -21$.

Ответ: -21

2) Решим выражение $(5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \sqrt[4]{1000}$.
Сначала преобразуем выражение в скобках. Запишем деление в виде дробей и приведем их к общему знаменателю $2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}$:
$\frac{5^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}} - \frac{2^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}} = \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}} = \frac{5^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}{(2 \cdot 5)^{\frac{3}{4}}}$
$= \frac{5^{\frac{4}{4}} - 2^{\frac{4}{4}}}{10^{\frac{3}{4}}} = \frac{5^1 - 2^1}{10^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{10^{\frac{3}{4}}}$
Теперь преобразуем второй множитель: $\sqrt[4]{1000} = \sqrt[4]{10^3} = 10^{\frac{3}{4}}$.
Перемножим полученные выражения:
$\frac{3}{10^{\frac{3}{4}}} \cdot 10^{\frac{3}{4}} = 3$.

Ответ: 3