Номер 494, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

494. Так называемые полупрозрачные материалы обладают тем свойством, что они пропускают свет, но уменьшают его интенсивность. Некоторый полупрозрачный пластик толщиной 1 мм уменьшает интенсивность света на 10%. Сколько листов этого пластика нужно сложить, чтобы интенсивность света:

1) составила примерно 41% от первоначальной;

2) уменьшилась примерно на 48%?

Пусть $I_0$ — первоначальная интенсивность света. Согласно условию, каждый лист пластика уменьшает интенсивность на 10%, то есть пропускает $100\% - 10\% = 90\%$ света. Прохождение света через несколько слоев материала описывается геометрической прогрессией.

После прохождения через один лист интенсивность $I_1$ станет: $I_1 = I_0 \cdot 0.9$.

После прохождения через два листа интенсивность $I_2$ станет: $I_2 = I_1 \cdot 0.9 = (I_0 \cdot 0.9) \cdot 0.9 = I_0 \cdot 0.9^2$.

Соответственно, после прохождения через $n$ листов пластика итоговая интенсивность $I_n$ будет равна:

$I_n = I_0 \cdot 0.9^n$

Теперь решим каждую часть задачи.

1) Нам нужно найти количество листов $n$, чтобы итоговая интенсивность составила примерно 41% от первоначальной. Математически это условие выглядит так:

$I_n \approx 0.41 \cdot I_0$

Подставим формулу для $I_n$ и сократим $I_0$:

$0.9^n \approx 0.41$

Будем подбирать целое значение $n$ путем расчета степеней 0.9:

При $n=7$: $0.9^7 \approx 0.478$ (интенсивность ~47.8%)

При $n=8$: $0.9^8 \approx 0.430$ (интенсивность ~43.0%)

При $n=9$: $0.9^9 \approx 0.387$ (интенсивность ~38.7%)

Сравним, какой из результатов ближе к 41%:

Отклонение для $n=8$: $|43.0\% - 41\%| = 2.0\%$.

Отклонение для $n=9$: $|38.7\% - 41\%| = 2.3\%$.

Результат для 8 листов ближе к заданному значению.

Ответ: 8 листов.

2) Нам нужно найти количество листов $n$, чтобы интенсивность света уменьшилась примерно на 48%. Если интенсивность уменьшилась на 48%, то она составила $100\% - 48\% = 52\%$ от первоначальной. Условие задачи:

$I_n \approx 0.52 \cdot I_0$

Подставив формулу для $I_n$, получаем:

$0.9^n \approx 0.52$

Снова воспользуемся расчетами степеней 0.9:

При $n=6$: $0.9^6 \approx 0.531$. Интенсивность составила ~53.1%, то есть уменьшилась на $100\% - 53.1\% = 46.9\%$.

При $n=7$: $0.9^7 \approx 0.478$. Интенсивность составила ~47.8%, то есть уменьшилась на $100\% - 47.8\% = 52.2\%$.

Сравним, какое из уменьшений интенсивности ближе к 48%:

Отклонение для $n=6$: $|46.9\% - 48\%| = 1.1\%$.

Отклонение для $n=7$: $|52.2\% - 48\%| = 4.2\%$.

Результат для 6 листов значительно ближе к требуемому уменьшению.

Ответ: 6 листов.