Номер 493, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

493. 1) $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 \left(1 - 2\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}\right);$

2) $\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) : \left(2 + 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}} + 3\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right);$

3) $\frac{a^{\frac{1}{4}} - a^{-\frac{9}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} - a^{-\frac{5}{4}}} - \frac{b^{-\frac{1}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}}};$

4) $\frac{\sqrt{a} - a^{-\frac{1}{2}}b}{\sqrt[3]{a^2} - a^{-\frac{1}{3}}b} - \frac{\sqrt[3]{a^2} - a^{-\frac{1}{3}}b}{1 - \sqrt{a^{-1}b}} - \frac{\sqrt[6]{a} + a^{\frac{1}{3}}\sqrt[3]{b}}{1 - a^{-\frac{1}{3}}\sqrt[3]{b}}.$

1) Упростим выражение $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 \left(1 - 2\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}\right)$.

Заметим, что второй множитель представляет собой формулу квадрата разности: $1 - 2\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a} = \left(1 - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 \left(1 - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2$

Представим второй множитель в виде дроби, используя свойство степеней $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$:

$\left(1 - \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\right)^2 = \left(\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\right)^2 = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2}{(a^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2}{a}$

Теперь перемножим первый множитель на полученную дробь:

$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 \cdot \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2}{a} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^4}{a}$

Ответ: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^4}{a}$.

2) Упростим выражение $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) : \left(2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)$.

Сначала преобразуем делитель. Представим корни в виде степеней и приведем слагаемые к общему знаменателю $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$:

$2 + \frac{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + \frac{b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (a^{\frac{1}{3}})^2 + (b^{\frac{1}{3}})^2}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}$

Числитель полученной дроби является полным квадратом суммы: $(a^{\frac{1}{3}})^2 + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2$.

Таким образом, делитель равен $\frac{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}$.

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$.

3) Упростим выражение $\frac{a^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{5}{4}}} - \frac{b^{-\frac{1}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}}}$.

Рассмотрим первую дробь. Вынесем в числителе и знаменателе за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{4}}$:

$\frac{a^{\frac{1}{4}}(1 - a^{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{4}}(1 - a^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}})} = \frac{1 - a^2}{1 - a}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $1-a^2 = (1-a)(1+a)$ и сократим дробь:

$\frac{(1-a)(1+a)}{1-a} = 1+a$

Рассмотрим вторую дробь. Вынесем в числителе и знаменателе за скобки общий множитель $b^{-\frac{1}{2}}$:

$\frac{b^{-\frac{1}{2}}(1 - b^{\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})})}{b^{-\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})} + 1)} = \frac{1 - b^2}{b + 1}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $1-b^2 = (1-b)(1+b)$ и сократим дробь:

$\frac{(1-b)(1+b)}{1+b} = 1-b$

Вычислим разность полученных выражений:

$(1+a) - (1-b) = 1 + a - 1 + b = a+b$

Ответ: $a+b$.

4) Упростим выражение $\frac{\sqrt{a} - a^{-\frac{1}{2}}b}{1 - \sqrt{a^{-1}}b} - \frac{\sqrt[3]{a^2} - a^{-\frac{1}{3}}b}{\sqrt[6]{a} + a^{-\frac{1}{3}}\sqrt{b}}$.

Запишем выражение, используя степени с рациональными показателями: $\frac{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}b}{1 - a^{-\frac{1}{2}}b} - \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}}$.

Примечание: В знаменателе первой дроби, $1 - \sqrt{a^{-1}}b$, вероятнее всего, допущена опечатка. Для получения стандартного для таких задач упрощения, следует предположить, что имелось в виду $1 - \sqrt{a^{-1}b}$, что равно $1 - a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$. Решим задачу с этим исправлением.

Упростим первую дробь (с исправленным знаменателем): $\frac{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}b}{1 - a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$.

Вынесем $a^{-\frac{1}{2}}$ за скобки в числителе: $a^{-\frac{1}{2}}(a - b)$.

Вынесем $a^{-\frac{1}{2}}$ за скобки в знаменателе: $a^{-\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$.

$\frac{a^{-\frac{1}{2}}(a - b)}{a^{-\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$.

Теперь упростим вторую дробь: $\frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}}$.

Вынесем $a^{-\frac{1}{3}}$ за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{a^{-\frac{1}{3}}(a - b)}{a^{-\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{6} - (-\frac{1}{3})} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a - b}{a^{\frac{1}{6} + \frac{2}{6}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$.

Найдем разность полученных выражений:

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) - (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = 2b^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{b}$.

Ответ: $2\sqrt{b}$.