Номер 492, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить выражение (492-493).

492. 1) $a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a^3\sqrt{a}}$; 2) $b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b^4\sqrt{b}}$; 3) $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}-\sqrt[3]{ab})$

1) Для упрощения выражения $a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}}$ представим корни в виде степеней с рациональными показателями. В первую очередь упростим выражение под корнем шестой степени, двигаясь изнутри наружу:

$a\sqrt[3]{a} = a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{1+\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}$

Теперь подставим это обратно в корень шестой степени:

$\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}} = \sqrt[6]{a^{\frac{4}{3}}}$

Преобразуем корень шестой степени в степень с дробным показателем:

$(a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{6}} = a^{\frac{4}{18}} = a^{\frac{2}{9}}$

Наконец, умножим результат на первый множитель из исходного выражения:

$a^{\frac{1}{9}} \cdot a^{\frac{2}{9}} = a^{\frac{1}{9}+\frac{2}{9}} = a^{\frac{3}{9}} = a^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$

2) Для упрощения выражения $b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$ будем действовать аналогично первому пункту, представив корни в виде степеней.

Сначала упростим выражение под корнем третьей степени:

$b\sqrt[4]{b} = b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{1+\frac{1}{4}} = b^{\frac{5}{4}}$

Подставим результат в корень третьей степени и преобразуем его в степень:

$\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{b^{\frac{5}{4}}} = (b^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{12}}$

Теперь умножим на первый множитель:

$b^{\frac{1}{12}} \cdot b^{\frac{5}{12}} = b^{\frac{1}{12}+\frac{5}{12}} = b^{\frac{6}{12}} = b^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $b^{\frac{1}{2}}$

3) Рассмотрим выражение $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab})$. Оно похоже на формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

Чтобы применить эту формулу, сделаем замену. Пусть $x = \sqrt[3]{a}$ и $y = \sqrt[3]{b}$.

Выразим члены второй скобки через $x$ и $y$:

$a^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{a})^2 = x^2$

$b^{\frac{2}{3}} = (b^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{b})^2 = y^2$

$\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} = xy$

Теперь подставим эти замены в исходное выражение:

$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab}) = (x+y)(x^2+y^2-xy)$

Переставив слагаемые во второй скобке, получим точное соответствие формуле суммы кубов:

$(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$

Теперь вернемся к исходным переменным $a$ и $b$:

$x^3+y^3 = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 = a+b$

Ответ: $a+b$