Номер 499, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

499. Сравнить числа:

1) $ \sqrt[3]{10} $ и $ \sqrt[5]{20} $;

2) $ \sqrt[3]{5} $ и $ \sqrt[4]{7} $;

3) $ \sqrt{17} $ и $ \sqrt[3]{28} $;

4) $ \sqrt[4]{13} $ и $ \sqrt[5]{23} $.

1) Чтобы сравнить числа с разными показателями корня, например $\sqrt[3]{10}$ и $\sqrt[5]{20}$, нужно привести их к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 3 и 5 равно 15.
Приведем каждый корень к показателю 15:
$\sqrt[3]{10} = \sqrt[3 \cdot 5]{10^5} = \sqrt[15]{100000}$
$\sqrt[5]{20} = \sqrt[5 \cdot 3]{20^3} = \sqrt[15]{8000}$
Теперь сравним подкоренные выражения. Так как $100000 > 8000$, то и $\sqrt[15]{100000} > \sqrt[15]{8000}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{10} > \sqrt[5]{20}$.
Ответ: $\sqrt[3]{10} > \sqrt[5]{20}$.

2) Сравним числа $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt[4]{7}$.
Общий показатель корня — это НОК(3, 4) = 12.
Приведем корни к показателю 12:
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}$
$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$
Сравниваем подкоренные выражения: $625 > 343$.
Отсюда следует, что $\sqrt[12]{625} > \sqrt[12]{343}$, а значит $\sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{7}$.

3) Сравним числа $\sqrt{17}$ и $\sqrt[3]{28}$. У числа $\sqrt{17}$ показатель корня равен 2.
Общий показатель корня — это НОК(2, 3) = 6.
Приведем корни к показателю 6:
$\sqrt{17} = \sqrt[2 \cdot 3]{17^3} = \sqrt[6]{4913}$
$\sqrt[3]{28} = \sqrt[3 \cdot 2]{28^2} = \sqrt[6]{784}$
Сравниваем подкоренные выражения: $4913 > 784$.
Таким образом, $\sqrt[6]{4913} > \sqrt[6]{784}$, то есть $\sqrt{17} > \sqrt[3]{28}$.
Ответ: $\sqrt{17} > \sqrt[3]{28}$.

4) Сравним числа $\sqrt[4]{13}$ и $\sqrt[5]{23}$.
Общий показатель корня — это НОК(4, 5) = 20.
Приведем корни к показателю 20:
$\sqrt[4]{13} = \sqrt[20]{13^5}$
$\sqrt[5]{23} = \sqrt[20]{23^4}$
Теперь необходимо сравнить подкоренные выражения: $13^5$ и $23^4$.
Вычислим их значения:
$13^5 = 13 \cdot (13^2)^2 = 13 \cdot 169^2 = 13 \cdot 28561 = 371293$
$23^4 = (23^2)^2 = 529^2 = 279841$
Так как $371293 > 279841$, то $13^5 > 23^4$.
Следовательно, $\sqrt[20]{13^5} > \sqrt[20]{23^4}$, а значит $\sqrt[4]{13} > \sqrt[5]{23}$.
Ответ: $\sqrt[4]{13} > \sqrt[5]{23}$.