Номер 497, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (497–498).

497.

1) $6^{3x} = 6^4$;

2) $(\frac{2}{3})^{2x} = (\frac{2}{3})^{-3}$;

3) $9^x = 3^{2\sqrt{2}}$;

4) $32^x = 2^{10}$.

1) Дано показательное уравнение $6^{3x} = 6^4$.

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения одинаковы и равны 6, мы можем приравнять их показатели. Это следует из свойства показательной функции $y=a^x$, которая является монотонной, а значит, каждое своё значение принимает только один раз.

$3x = 4$

Чтобы найти $x$, разделим обе части полученного линейного уравнения на 3:

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

2) Дано уравнение $(\frac{2}{3})^{2x} = (\frac{2}{3})^{-3}$.

Основания степеней в обеих частях уравнения равны $\frac{2}{3}$. Следовательно, мы можем приравнять показатели степеней:

$2x = -3$

Решим это линейное уравнение, разделив обе части на 2:

$x = -\frac{3}{2}$ или $x = -1.5$

Ответ: $x = -1.5$.

3) Дано уравнение $9^x = 3^{2\sqrt{2}}$.

Для решения этого уравнения необходимо привести обе части к одному основанию. Заметим, что основание в левой части, $9$, можно представить как степень числа $3$, которое является основанием в правой части: $9 = 3^2$.

Подставим это выражение в левую часть уравнения:

$(3^2)^x = 3^{2\sqrt{2}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем левую часть:

$3^{2x} = 3^{2\sqrt{2}}$

Теперь, когда основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x = 2\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \sqrt{2}$

Ответ: $x = \sqrt{2}$.

4) Дано уравнение $32^x = 2^{10}$.

Приведем левую часть уравнения к основанию 2. Число $32$ является пятой степенью числа $2$, то есть $32 = 2^5$.

Подставим это в уравнение:

$(2^5)^x = 2^{10}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ для левой части:

$2^{5x} = 2^{10}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$5x = 10$

Находим $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.