Номер 501, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

501. 1) $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$;

2) $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}$;

3) $\frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a-b} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$;

4) $\frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a+b} + \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$.

1) $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}$

Для упрощения данного выражения удобно использовать замену переменных. Введем обозначения: $x = \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$. Из этих обозначений следует, что $a = x^3$ и $b = y^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{x^3-y^3}{x-y} - \frac{x^3+y^3}{x+y}$

Теперь воспользуемся формулами сокращенного умножения для разности и суммы кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ и $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y} - \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x+y}$

Сокращаем одинаковые множители в числителях и знаменателях дробей:

$(x^2+xy+y^2) - (x^2-xy+y^2)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x^2+xy+y^2 - x^2+xy-y^2 = 2xy$

Выполним обратную замену, подставив вместо $x$ и $y$ их первоначальные значения:

$2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} = 2(ab)^{\frac{1}{3}} = 2\sqrt[3]{ab}$

Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$

2) $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}$

Для начала, приведем выражение к единому виду степеней, заменив $\sqrt[3]{ab}$ на $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$. Затем введем замену: пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$. Тогда $a=x^3, b=y^3, a^{\frac{2}{3}}=x^2, b^{\frac{2}{3}}=y^2$.

Выражение после подстановки будет выглядеть так:

$\frac{x^3+y^3}{x^2-xy+y^2} - \frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}$

Знаменатели дробей представляют собой неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы соответственно. Они являются частями формул суммы и разности кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ и $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Подставим эти разложения в числители:

$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2-xy+y^2} - \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}$

Сократив дроби, получим простое выражение:

$(x+y) - (x-y) = x+y-x+y = 2y$

Теперь сделаем обратную замену, подставив $y = b^{\frac{1}{3}}$:

$2b^{\frac{1}{3}} = 2\sqrt[3]{b}$

Ответ: $2\sqrt[3]{b}$

3) $\frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a-b} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$

Введем замену переменных: пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$. Следовательно, $a=x^3, b=y^3, a^{\frac{2}{3}}=x^2, b^{\frac{2}{3}}=y^2$.

Подставим новые переменные в исходное выражение:

$\frac{x^2+y^2}{x^3-y^3} - \frac{1}{x-y}$

Разложим знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

$\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} - \frac{1}{x-y}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю $(x-y)(x^2+xy+y^2)$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x^2+xy+y^2)$:

$\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} - \frac{1 \cdot (x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}$

Теперь объединим дроби:

$\frac{(x^2+y^2) - (x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} = \frac{x^2+y^2-x^2-xy-y^2}{x^3-y^3} = \frac{-xy}{x^3-y^3}$

Выполним обратную замену, подставляя $a^{\frac{1}{3}}$ вместо $x$ и $b^{\frac{1}{3}}$ вместо $y$:

$\frac{-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a-b} = \frac{-(ab)^{\frac{1}{3}}}{a-b} = \frac{-\sqrt[3]{ab}}{a-b}$

Ответ: $\frac{-\sqrt[3]{ab}}{a-b}$

4) $\frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a+b} + \frac{1}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$

Введем замену, чтобы упростить выражение: $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$. Тогда $a=x^3, b=y^3, a^{\frac{2}{3}}=x^2, b^{\frac{2}{3}}=y^2$.

После подстановки выражение примет вид:

$\frac{x-y}{x^3+y^3} + \frac{1}{x^2-xy+y^2}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

$\frac{x-y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} + \frac{1}{x^2-xy+y^2}$

Общим знаменателем является $(x+y)(x^2-xy+y^2)$. Домножим вторую дробь на $(x+y)$:

$\frac{x-y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} + \frac{1 \cdot (x+y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(x-y)+(x+y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{x-y+x+y}{x^3+y^3} = \frac{2x}{x^3+y^3}$

Произведем обратную замену, подставив $a^{\frac{1}{3}}$ вместо $x$ и $a+b$ вместо $x^3+y^3$:

$\frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a+b} = \frac{2\sqrt[3]{a}}{a+b}$

Ответ: $\frac{2\sqrt[3]{a}}{a+b}$