Номер 500, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить выражение (500—501).

500. 1) $ \frac{a^{\frac{5}{3}}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} - \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a}} - \frac{2a^2}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}} $;

2) $ \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac{2}{3}}} $.

1)

Запишем исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{5}{3}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} - \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a}} - \frac{2a^2}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} $

Для удобства преобразуем все члены выражения, используя степенные показатели вместо корней: $ \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}, \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}, \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}, \sqrt[3]{b^2} = b^{\frac{2}{3}} $.

Выражение примет вид: $ \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}} - \frac{2a^2}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} $

Упростим вторую дробь, изменив знак в знаменателе: $ - \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}} = - \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{-(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} = \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

Знаменатель третьей дроби разложим по формуле разности квадратов: $ a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $

Теперь все выражение можно записать так: $ \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} + \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - \frac{2a^2}{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $: $ \frac{a^{\frac{5}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) + a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) - 2a^2}{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} $

Раскроем скобки в числителе: $ a^{\frac{5}{3}}a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - 2a^2 $ $ = a^{\frac{6}{3}} - a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}} - 2a^2 $

Приведем подобные слагаемые в числителе: $ a^2 + a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}} - 2a^2 = a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}} - a^2 $

Вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{4}{3}} $, учитывая, что $ a^2 = a^{\frac{6}{3}} = a^{\frac{4}{3}}a^{\frac{2}{3}} $: $ a^{\frac{4}{3}}(b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}}) $

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $ \frac{a^{\frac{4}{3}}(b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{4}{3}} \cdot (-1) \cdot (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} $

Сократим дробь на $ (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $, получив: $ -a^{\frac{4}{3}} $

Ответ: $ -a^{\frac{4}{3}} $.

2)

Запишем исходное выражение: $ \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}} $

Перейдем к степенным показателям для удобства вычислений: $ \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} $

Рассмотрим вторую дробь. Ее числитель можно разложить по формуле разности кубов: $ a - b = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) $

Подставим это разложение в числитель второй дроби и сократим ее: $ \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} $

Теперь исходное выражение принимает вид: $ \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $

Приведем к общему знаменателю $ a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} $: $ \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $: $ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $

Подставим полученное выражение в числитель и упростим его: $ a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - (a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) = a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $

Таким образом, все выражение равно: $ \frac{2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

Ответ: $ \frac{2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $.