Номер 504, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

504. Найти значение выражения $x^3 + ax + b$, если

$x = \sqrt[3]{-\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}$.

Для нахождения значения выражения $x^3 + ax + b$ возведем данное значение $x$ в куб. Чтобы упростить вычисления, введем следующие обозначения:

$u = \sqrt[3]{-\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}$

$v = \sqrt[3]{-\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}$

Тогда $x = u + v$.

Теперь возведем $x$ в куб, используя формулу куба суммы: $x^3 = (u+v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u+v)$.

Найдем значения для каждого компонента этой формулы.

1. Вычислим $u^3$ и $v^3$:

$u^3 = \left(\sqrt[3]{-\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}\right)^3 = -\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}$

$v^3 = \left(\sqrt[3]{-\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}\right)^3 = -\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}$

2. Найдем сумму $u^3 + v^3$:

$u^3 + v^3 = \left(-\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}\right) + \left(-\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}\right) = -\frac{b}{2} - \frac{b}{2} = -b$

3. Найдем произведение $uv$:

$uv = \sqrt[3]{\left(-\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}\right) \cdot \left(-\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}\right)}$

Выражение под кубическим корнем представляет собой произведение разности и суммы, которое равно разности квадратов:

$uv = \sqrt[3]{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}\right)^2} = \sqrt[3]{\frac{b^2}{4} - \left(\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}\right)} = \sqrt[3]{\frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4} - \frac{a^3}{27}} = \sqrt[3]{-\frac{a^3}{27}} = -\frac{a}{3}$

Теперь подставим найденные значения $u^3+v^3 = -b$ и $uv = -\frac{a}{3}$ в формулу для $x^3$. Также заменим $u+v$ на $x$:

$x^3 = (u^3 + v^3) + 3(uv)(u+v)$

$x^3 = -b + 3\left(-\frac{a}{3}\right)x$

$x^3 = -b - ax$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить искомое выражение:

$x^3 + ax + b = 0$

Таким образом, значение выражения $x^3 + ax + b$ равно нулю. Следует отметить, что данное выражение для $x$ является решением кубического уравнения вида $y^3+ay+b=0$, известным как формула Кардано.

Ответ: 0