Номер 510, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

510. Представить в виде обыкновенной дроби:

1) $2,5(1)$

2) $1,3(2)$

3) $0,(248)$

4) $0,(35)$

1)

Для того чтобы представить смешанную периодическую дробь $2,5(1)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим это число переменной $x$.

$x = 2,5111...$

Сначала умножим обе части равенства на 10, чтобы сместить непериодическую часть (цифру 5) влево от десятичной запятой.

$10x = 25,111...$

Далее, умножим обе части исходного равенства на 100, чтобы сместить влево непериодическую часть и один период.

$100x = 251,111...$

Теперь вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:

$100x - 10x = 251,111... - 25,111...$

$90x = 226$

Найдем $x$:

$x = \frac{226}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$x = \frac{113}{45}$

Ответ: $\frac{113}{45}$.

2)

Представим смешанную периодическую дробь $1,3(2)$ в виде обыкновенной дроби. Обозначим это число через $x$.

$x = 1,3222...$

Умножим обе части равенства на 10:

$10x = 13,222...$

Умножим обе части исходного равенства на 100:

$100x = 132,222...$

Вычтем из второго полученного равенства первое:

$100x - 10x = 132,222... - 13,222...$

$90x = 119$

Найдем $x$:

$x = \frac{119}{90}$

Эта дробь является несократимой, так как числитель $119 = 7 \cdot 17$ и знаменатель $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ не имеют общих простых делителей.

Ответ: $\frac{119}{90}$.

3)

Представим чистую периодическую дробь $0,(248)$ в виде обыкновенной дроби. Обозначим это число через $x$.

$x = 0,248248...$

Поскольку в периоде три цифры, умножим обе части равенства на $10^3 = 1000$:

$1000x = 248,248248...$

Вычтем из полученного равенства исходное:

$1000x - x = 248,248248... - 0,248248...$

$999x = 248$

Найдем $x$:

$x = \frac{248}{999}$

Эта дробь является несократимой, так как числитель $248 = 2^3 \cdot 31$ и знаменатель $999 = 3^3 \cdot 37$ не имеют общих простых делителей.

Ответ: $\frac{248}{999}$.

4)

Представим чистую периодическую дробь $0,(35)$ в виде обыкновенной дроби. Обозначим это число через $x$.

$x = 0,3535...$

Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части равенства на $10^2 = 100$:

$100x = 35,3535...$

Вычтем из полученного равенства исходное:

$100x - x = 35,3535... - 0,3535...$

$99x = 35$

Найдем $x$:

$x = \frac{35}{99}$

Эта дробь является несократимой, так как числитель $35 = 5 \cdot 7$ и знаменатель $99 = 3^2 \cdot 11$ не имеют общих простых делителей.

Ответ: $\frac{35}{99}$.