Номер 512, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

512. 1) $\sqrt[3]{6^3 \cdot 5^3}$, $\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}$, $\sqrt[4]{\frac{125}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}}$;

2) $65^0 : 8^{-2}$, $16^{\frac{1}{4}} \cdot 32^{\frac{1}{5}}$, $(\frac{1}{15})^{-1} : 9^{\frac{1}{2}}$, $8^{\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{2})^4 : 16^{-1}$;

3) $\frac{6^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{-\frac{1}{4}}}{6^2}$, $\frac{9^{\frac{7}{3}} \cdot 9^{-\frac{4}{3}}}{9^2}$, $\frac{(0,5)^{0,3} \cdot (0,5)^{-1}}{(0,5)^{1,3}}$.

Для выражения $\sqrt[3]{6^3 \cdot 5^3}$:
Используем свойство корня из произведения и степени: $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = \sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$.
$\sqrt[3]{6^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{(6 \cdot 5)^3} = 6 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30

Для выражения $\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}$:
Используем свойство произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{324 \cdot 4} = \sqrt[4]{1296}$.
Поскольку $6^4 = 1296$, то $\sqrt[4]{1296} = 6$.
Ответ: 6

Для выражения $\sqrt[4]{15\frac{5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}}$:
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{125}{8}$.
Используем свойство частного корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a:b}$.
$\sqrt[4]{\frac{125}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} : \frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{625}{16}}$.
Так как $5^4 = 625$ и $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{\frac{625}{16}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5

Для выражения $65^0 : 8^{-2}$:
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1 ($a^0 = 1$), а отрицательная степень означает обратное число ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).
$65^0 = 1$.
$8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$.
Следовательно, $1 : \frac{1}{64} = 1 \cdot 64 = 64$.
Ответ: 64

Для выражения $16^{\frac{1}{4}} \cdot 32^{\frac{1}{5}}$:
Используем определение дробной степени $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$.
$16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
$32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
$2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

Для выражения $(\frac{1}{15})^{-1} : 9^{\frac{1}{2}}$:
$(\frac{1}{15})^{-1} = 15$.
$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.
$15 : 3 = 5$.
Ответ: 5

Для выражения $8^{\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{2})^4 : 16^{-1}$:
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.
$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.
$16^{-1} = \frac{1}{16}$.
$2 \cdot \frac{1}{16} : \frac{1}{16} = \frac{2}{16} \cdot 16 = 2$.
Ответ: 2

Для выражения $\frac{6^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{-\frac{1}{4}}}{6^2}$:
В числителе используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$6^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{-\frac{1}{4}} = 6^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = 6^0 = 1$.
Получаем дробь: $\frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$

Для выражения $\frac{9^{\frac{7}{3}} \cdot 9^{-\frac{4}{3}}}{9^2}$:
Упростим числитель: $9^{\frac{7}{3}} \cdot 9^{-\frac{4}{3}} = 9^{\frac{7}{3} - \frac{4}{3}} = 9^{\frac{3}{3}} = 9^1 = 9$.
Теперь разделим на знаменатель, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{9^1}{9^2} = 9^{1-2} = 9^{-1} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

Для выражения $\frac{(0,5)^{0,3} \cdot (0,5)^{-1}}{(0,5)^{1,3}}$:
Объединим степени с одинаковым основанием:
$\frac{(0,5)^{0,3 + (-1)}}{(0,5)^{1,3}} = \frac{(0,5)^{-0,7}}{(0,5)^{1,3}} = (0,5)^{-0,7 - 1,3} = (0,5)^{-2}$.
Вычисляем результат: $(0,5)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4