Номер 519, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

519. Сравнить числа:

1) $\sqrt[7]{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)^2}$ и $\sqrt[7]{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)^2}$;

2) $\sqrt[5]{\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)^3}$ и $\sqrt[5]{\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)^3}$.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[7]{(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})^2}$ и $\sqrt[7]{(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})^2}$, мы можем сравнить их подкоренные выражения. Это возможно, так как функция $y=\sqrt[7]{x}$ является возрастающей, то есть большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение корня.

Сначала упростим выражения в скобках:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$

Теперь задача сводится к сравнению подкоренных выражений: $(\frac{1}{6})^2$ и $(\frac{1}{12})^2$.
Вычислим их значения:
$(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$
$(\frac{1}{12})^2 = \frac{1}{144}$

Теперь сравним дроби $\frac{1}{36}$ и $\frac{1}{144}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $36 < 144$, то $\frac{1}{36} > \frac{1}{144}$.

Поскольку подкоренное выражение первого числа больше подкоренного выражения второго, то и первое число больше второго.

Ответ: $\sqrt[7]{(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})^2} > \sqrt[7]{(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})^2}$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt[5]{(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^3}$ и $\sqrt[5]{(\frac{1}{6} - \frac{1}{7})^3}$, применим тот же подход. Функция $y=\sqrt[5]{x}$ является возрастающей, поэтому достаточно сравнить значения подкоренных выражений.

Упростим выражения в скобках:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{7}{42} - \frac{6}{42} = \frac{1}{42}$

Теперь нам нужно сравнить $(\frac{1}{20})^3$ и $(\frac{1}{42})^3$. Функция $y=x^3$ также является возрастающей (для положительных чисел), поэтому для сравнения степеней достаточно сравнить их основания: $\frac{1}{20}$ и $\frac{1}{42}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{20}$ и $\frac{1}{42}$. У дробей одинаковые числители (1), значит, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $20 < 42$, то $\frac{1}{20} > \frac{1}{42}$.

Из этого следует, что $(\frac{1}{20})^3 > (\frac{1}{42})^3$, и, соответственно, $\sqrt[5]{(\frac{1}{20})^3} > \sqrt[5]{(\frac{1}{42})^3}$.

Ответ: $\sqrt[5]{(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^3} > \sqrt[5]{(\frac{1}{6} - \frac{1}{7})^3}$.