Номер 522, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

522. Упростить:

1) $ \frac{ab^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1} $

2) $ \frac{b}{a-b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} $

1) Исходное выражение: $\frac{ab^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1}$. Сначала упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $b^{\frac{1}{2}}$: $ab^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{2}}(ab - 1)$. Заметим, что выражение $(ab-1)$ можно разложить на множители как разность квадратов, так как $ab = (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}})^2$:$ab - 1 = (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1)$.Подставим разложенный числитель обратно в исходную дробь:$\frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1}$.Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1)$ в числителе и знаменателе:$b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1)$.Раскроем скобки, чтобы получить окончательный результат:$b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = a^{\frac{1}{2}}b^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})} + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b + b^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{2}}b + b^{\frac{1}{2}}$.

2) Исходное выражение: $\frac{b}{a-b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$. Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $(a-b)$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a-b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.Общим знаменателем является выражение $(a-b)$. Чтобы привести вторую дробь к этому знаменателю, домножим ее числитель и знаменатель на $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$:$\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a-b}$.Теперь выполним сложение дробей:$\frac{b}{a-b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a-b} = \frac{b + b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a-b}$.Упростим числитель, раскрыв скобки:$b + b^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = b + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - b = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$.В результате получаем:$\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b}$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b}$.