Страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

516. Сравнить числа:

1) $(0,88)^{\frac{1}{6}}$ и $\left(\frac{6}{11}\right)^{\frac{1}{6}}$;

2) $\left(\frac{5}{12}\right)^{-\frac{1}{4}}$ и $(0,41)^{-\frac{1}{4}}$;

3) $(4,09)^{\frac{3}{2}}$ и $\left(4\frac{3}{25}\right)^{\frac{3}{2}}$;

4) $\left(\frac{11}{12}\right)^{-\sqrt{5}}$ и $\left(\frac{12}{13}\right)^{-\sqrt{5}}$.

1) Для сравнения чисел $(0,88)^{\frac{1}{6}}$ и $(\frac{6}{11})^{\frac{1}{6}}$ воспользуемся свойством степенной функции $y = x^a$. Показатели степеней у обоих чисел одинаковы и равны $a = \frac{1}{6}$. Так как показатель степени $a = \frac{1}{6} > 0$, функция является возрастающей при $x > 0$. Это означает, что большему значению основания соответствует большее значение функции.

Теперь сравним основания: $0,88$ и $\frac{6}{11}$. Для этого переведем десятичную дробь в обыкновенную:

$0,88 = \frac{88}{100} = \frac{22}{25}$.

Сравним дроби $\frac{22}{25}$ и $\frac{6}{11}$. Приведем их к общему знаменателю $25 \times 11 = 275$:

$\frac{22}{25} = \frac{22 \times 11}{25 \times 11} = \frac{242}{275}$

$\frac{6}{11} = \frac{6 \times 25}{11 \times 25} = \frac{150}{275}$

Поскольку $242 > 150$, то $\frac{242}{275} > \frac{150}{275}$, а значит $0,88 > \frac{6}{11}$.

Так как основание $0,88$ больше основания $\frac{6}{11}$, а функция возрастающая, то и значение степени будет больше.

Ответ: $(0,88)^{\frac{1}{6}} > (\frac{6}{11})^{\frac{1}{6}}$.

2) Для сравнения чисел $(\frac{5}{12})^{-\frac{1}{4}}$ и $(0,41)^{-\frac{1}{4}}$ рассмотрим степенную функцию $y = x^a$ с показателем $a = -\frac{1}{4}$. Так как показатель степени $a = -\frac{1}{4} < 0$, функция является убывающей при $x > 0$. Это означает, что большему значению основания соответствует меньшее значение функции.

Сравним основания: $\frac{5}{12}$ и $0,41$. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,41 = \frac{41}{100}$.

Сравним дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{41}{100}$ с помощью перекрестного умножения:

$5 \times 100 = 500$

$12 \times 41 = 492$

Так как $500 > 492$, то $\frac{5}{12} > \frac{41}{100}$, то есть $\frac{5}{12} > 0,41$.

Поскольку основание $\frac{5}{12}$ больше основания $0,41$, а функция убывающая, то для значений степеней неравенство меняет знак на противоположный.

Ответ: $(\frac{5}{12})^{-\frac{1}{4}} < (0,41)^{-\frac{1}{4}}$.

3) Для сравнения чисел $(4,09)^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ и $(4\frac{3}{25})^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ рассмотрим степенную функцию с показателем $a = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Так как $a = \frac{3\sqrt{2}}{2} > 0$, функция является возрастающей при $x > 0$. Следовательно, большему основанию соответствует большее значение функции.

Сравним основания: $4,09$ и $4\frac{3}{25}$. Переведем смешанную дробь в десятичную:

$4\frac{3}{25} = 4 + \frac{3}{25} = 4 + \frac{3 \times 4}{25 \times 4} = 4 + \frac{12}{100} = 4,12$.

Сравнивая $4,09$ и $4,12$, видим, что $4,09 < 4,12$. Значит, $4,09 < 4\frac{3}{25}$.

Так как основание $4,09$ меньше основания $4\frac{3}{25}$ и функция возрастающая, то и значение степени будет меньше.

Ответ: $(4,09)^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} < (4\frac{3}{25})^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$.

4) Для сравнения чисел $(\frac{11}{12})^{-\sqrt{5}}$ и $(\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}}$ рассмотрим степенную функцию с показателем $a = -\sqrt{5}$. Так как $a = -\sqrt{5} < 0$, функция является убывающей при $x > 0$. Это означает, что большему значению основания соответствует меньшее значение функции.

Сравним основания: $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$. Можно представить их как $1 - \frac{1}{12}$ и $1 - \frac{1}{13}$.

Сравним дроби $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{13}$. Так как $12 < 13$, то $\frac{1}{12} > \frac{1}{13}$.

Из единицы в первом случае вычитается большее число ($\frac{1}{12}$), а во втором - меньшее ($\frac{1}{13}$), значит, результат в первом случае будет меньше: $1 - \frac{1}{12} < 1 - \frac{1}{13}$. Следовательно, $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.

Поскольку основание $\frac{11}{12}$ меньше основания $\frac{12}{13}$, а функция убывающая, то для значений степеней неравенство меняет знак на противоположный.

Ответ: $(\frac{11}{12})^{-\sqrt{5}} > (\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}}$.

517. Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием a:

1) $\frac{a^{1\tfrac{1}{2}} a^{-0.5}}{a^{\frac{2}{3}}}$;

2) $\frac{a^{-3} a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$;

3) $(a^{2.5})^2 \sqrt[5]{a}$;

4) $\sqrt[7]{a^2} \left(a^{\frac{3}{14}}\right)^2.$

1) Для упрощения выражения $ \frac{a^{1\frac{1}{2}} a^{-0,5}}{a^{\frac{2}{3}}} $ необходимо последовательно выполнить действия со степенями.

Сначала преобразуем все показатели степени в обыкновенные или десятичные дроби для удобства вычислений. Представим смешанное число $1\frac{1}{2}$ как $\frac{3}{2}$, а десятичную дробь $-0,5$ как $-\frac{1}{2}$.

Выражение в числителе примет вид: $ a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} $. Согласно свойству степеней, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$ a^{\frac{3}{2} + (-\frac{1}{2})} = a^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{2}} = a^1 = a $.

Теперь исходное выражение можно записать как $ \frac{a}{a^{\frac{2}{3}}} $. Согласно свойству степеней, при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$ a^{1 - \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}} $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{3}} $

2) Упростим выражение $ \frac{a^{-3} a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} $.

Сначала выполним умножение в числителе, сложив показатели степеней:
$ a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}} = a^{-3 + \frac{7}{3}} $. Приведем $-3$ к дроби со знаменателем 3: $-3 = -\frac{9}{3}$.
$ a^{-\frac{9}{3} + \frac{7}{3}} = a^{-\frac{2}{3}} $.

Теперь разделим полученный результат на знаменатель, вычитая показатели степеней:
$ \frac{a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} = a^{-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} = a^{-\frac{3}{3}} = a^{-1} $.

Ответ: $ a^{-1} $

3) Упростим выражение $ (a^{2,5})^2 \cdot \sqrt[5]{a} $.

Представим каждый множитель в виде степени с основанием $a$.
Для первого множителя используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$ (a^{2,5})^2 = a^{2,5 \cdot 2} = a^5 $.

Для второго множителя представим корень в виде степени с дробным показателем ($\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$):
$ \sqrt[5]{a} = \sqrt[5]{a^1} = a^{\frac{1}{5}} $.

Теперь перемножим полученные степени, сложив их показатели:
$ a^5 \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{5 + \frac{1}{5}} = a^{\frac{25}{5} + \frac{1}{5}} = a^{\frac{26}{5}} $.

Ответ: $ a^{\frac{26}{5}} $

4) Упростим выражение $ \sqrt[7]{a^2} \cdot (a^{\frac{3}{14}})^2 $.

Представим каждый множитель в виде степени с основанием $a$.
Представим корень в виде степени с дробным показателем:
$ \sqrt[7]{a^2} = a^{\frac{2}{7}} $.

Для второго множителя используем свойство возведения степени в степень:
$ (a^{\frac{3}{14}})^2 = a^{\frac{3}{14} \cdot 2} = a^{\frac{6}{14}} $. Сократим дробь в показателе: $ a^{\frac{3}{7}} $.

Теперь перемножим полученные степени, сложив их показатели:
$ a^{\frac{2}{7}} \cdot a^{\frac{3}{7}} = a^{\frac{2}{7} + \frac{3}{7}} = a^{\frac{5}{7}} $.

Ответ: $ a^{\frac{5}{7}} $

518. Упростить выражение:

1) $x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}}\right)^{\sqrt{2}+1}$

2) $\left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$

1)
Исходное выражение: $x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}}\right)^{\sqrt{2}+1}$.
Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство степени $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:
$\frac{1}{x^{-\sqrt{2}-1}} = x^{-(-\sqrt{2}-1)} = x^{\sqrt{2}+1}$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(x^{\sqrt{2}+1}\right)^{\sqrt{2}+1}$.
Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ ко второму множителю:
$(x^{\sqrt{2}+1})^{\sqrt{2}+1} = x^{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)} = x^{(\sqrt{2}+1)^2}$.
Раскроем квадрат суммы в показателе степени:
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$x^{-2\sqrt{2}} \cdot x^{3+2\sqrt{2}}$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^{-2\sqrt{2} + 3+2\sqrt{2}} = x^{3}$.
Ответ: $x^3$.

2)
Исходное выражение: $\left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$.
Применим свойство возведения дроби в степень $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ к первому множителю:
$\frac{(a^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}+1}}{(b^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1}} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$.
Теперь применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$ к числителю и знаменателю первой дроби:
В числителе: $(a^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}+1} = a^{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = a^{3+\sqrt{3}}$.
В знаменателе: $(b^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1} = b^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$. Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$: $b^{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = b^{3-1} = b^2$.
Выражение теперь выглядит так:
$\frac{a^{3+\sqrt{3}}}{b^2} \cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$.
Перемножим дроби:
$\frac{a^{3+\sqrt{3}} \cdot a^{-1-\sqrt{3}}}{b^2 \cdot b^{-2}}$.
Используем свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для числителя и знаменателя:
В числителе: $a^{3+\sqrt{3} + (-1-\sqrt{3})} = a^{3+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}} = a^2$.
В знаменателе: $b^{2+(-2)} = b^{2-2} = b^0 = 1$ (при $b \ne 0$).
Таким образом, получаем:
$\frac{a^2}{1} = a^2$.
Ответ: $a^2$.

519. Сравнить числа:

1) $\sqrt[7]{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)^2}$ и $\sqrt[7]{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)^2}$;

2) $\sqrt[5]{\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)^3}$ и $\sqrt[5]{\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)^3}$.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[7]{(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})^2}$ и $\sqrt[7]{(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})^2}$, мы можем сравнить их подкоренные выражения. Это возможно, так как функция $y=\sqrt[7]{x}$ является возрастающей, то есть большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение корня.

Сначала упростим выражения в скобках:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$

Теперь задача сводится к сравнению подкоренных выражений: $(\frac{1}{6})^2$ и $(\frac{1}{12})^2$.
Вычислим их значения:
$(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$
$(\frac{1}{12})^2 = \frac{1}{144}$

Теперь сравним дроби $\frac{1}{36}$ и $\frac{1}{144}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $36 < 144$, то $\frac{1}{36} > \frac{1}{144}$.

Поскольку подкоренное выражение первого числа больше подкоренного выражения второго, то и первое число больше второго.

Ответ: $\sqrt[7]{(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})^2} > \sqrt[7]{(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})^2}$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt[5]{(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^3}$ и $\sqrt[5]{(\frac{1}{6} - \frac{1}{7})^3}$, применим тот же подход. Функция $y=\sqrt[5]{x}$ является возрастающей, поэтому достаточно сравнить значения подкоренных выражений.

Упростим выражения в скобках:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{7}{42} - \frac{6}{42} = \frac{1}{42}$

Теперь нам нужно сравнить $(\frac{1}{20})^3$ и $(\frac{1}{42})^3$. Функция $y=x^3$ также является возрастающей (для положительных чисел), поэтому для сравнения степеней достаточно сравнить их основания: $\frac{1}{20}$ и $\frac{1}{42}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{20}$ и $\frac{1}{42}$. У дробей одинаковые числители (1), значит, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $20 < 42$, то $\frac{1}{20} > \frac{1}{42}$.

Из этого следует, что $(\frac{1}{20})^3 > (\frac{1}{42})^3$, и, соответственно, $\sqrt[5]{(\frac{1}{20})^3} > \sqrt[5]{(\frac{1}{42})^3}$.

Ответ: $\sqrt[5]{(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^3} > \sqrt[5]{(\frac{1}{6} - \frac{1}{7})^3}$.

520. Решить уравнение:

1) $6^{2x} = 6^{\frac{1}{5}}$; 2) $3^x = 27$; 3) $7^{3x} = 7^{10}$;

4) $2^{2x+1} = 32$; 5) $4^{2+x} = 1$.

1) В уравнении $6^{2x} = 6^{\frac{1}{5}}$ основания степеней в обеих частях одинаковы (равны 6). В таких случаях можно приравнять показатели степеней.
$2x = \frac{1}{5}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{1}{5} \div 2 = \frac{1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10}$
Ответ: $x = \frac{1}{10}$.

2) Рассмотрим уравнение $3^x = 27$. Чтобы решить его, нужно представить правую часть уравнения (число 27) в виде степени с тем же основанием, что и в левой части (основание 3).
Мы знаем, что $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.
Подставим это значение в уравнение:
$3^x = 3^3$
Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

3) В уравнении $7^{3x} = 7^{10}$ основания степеней в левой и правой частях уже равны (7). Следовательно, мы можем приравнять их показатели:
$3x = 10$
Решим полученное линейное уравнение, разделив обе части на 3:
$x = \frac{10}{3}$
Ответ: $x = \frac{10}{3}$.

4) Дано уравнение $2^{2x+1} = 32$. Приведем правую часть к основанию 2.
Число 32 можно представить как $2^5$, так как $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Запишем уравнение в новом виде:
$2^{2x+1} = 2^5$
Приравниваем показатели степеней с одинаковыми основаниями:
$2x + 1 = 5$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$2x = 4$
Разделим обе части на 2:
$x = 2$
Ответ: $x = 2$.

5) Решим уравнение $4^{2+x} = 1$. Для этого представим число 1 в виде степени с основанием 4.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 4^0$.
Уравнение принимает вид:
$4^{2+x} = 4^0$
Так как основания равны, приравниваем показатели:
$2 + x = 0$
Перенесем 2 в правую часть, изменив знак:
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.

521. Сократить дробь:

1) $\frac{y - 16y^{\frac{1}{2}}}{5y^{\frac{1}{4}} + 20}$;

2) $\frac{a^{\frac{4}{5}} - b^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{y - 16y^{\frac{1}{2}}}{5y^{\frac{1}{4}} + 20}$, преобразуем числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем за скобки общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$:

$y - 16y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 16)$.

Выражение в скобках $y^{\frac{1}{2}} - 16$ является разностью квадратов, так как $y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{4}})^2$ и $16 = 4^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^{\frac{1}{2}} - 16 = (y^{\frac{1}{4}})^2 - 4^2 = (y^{\frac{1}{4}} - 4)(y^{\frac{1}{4}} + 4)$.

Таким образом, числитель равен $y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)(y^{\frac{1}{4}} + 4)$.

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем за скобки общий множитель 5:

$5y^{\frac{1}{4}} + 20 = 5(y^{\frac{1}{4}} + 4)$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)(y^{\frac{1}{4}} + 4)}{5(y^{\frac{1}{4}} + 4)}$

Сократим общий множитель $(y^{\frac{1}{4}} + 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $y \ge 0$, выражение $y^{\frac{1}{4}} + 4$ всегда больше нуля):

$\frac{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)}{5}$

Ответ: $\frac{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{4}} - 4)}{5}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a^{\frac{4}{5}} - b^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}}$, преобразуем числитель.

Заметим, что числитель представляет собой разность квадратов. Представим $a^{\frac{4}{5}}$ и $b^{\frac{4}{5}}$ в виде квадратов:

$a^{\frac{4}{5}} = (a^{\frac{2}{5}})^2$

$b^{\frac{4}{5}} = (b^{\frac{2}{5}})^2$

Теперь числитель можно записать как $(a^{\frac{2}{5}})^2 - (b^{\frac{2}{5}})^2$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^{\frac{2}{5}}$ и $y = b^{\frac{2}{5}}$:

$(a^{\frac{2}{5}})^2 - (b^{\frac{2}{5}})^2 = (a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}})(a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}})$.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}})(a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}})}{a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}})$ в числителе и знаменателе:

$a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{5}} + b^{\frac{2}{5}}$.

522. Упростить:

1) $ \frac{ab^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1} $

2) $ \frac{b}{a-b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} $

1) Исходное выражение: $\frac{ab^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1}$. Сначала упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $b^{\frac{1}{2}}$: $ab^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{2}}(ab - 1)$. Заметим, что выражение $(ab-1)$ можно разложить на множители как разность квадратов, так как $ab = (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}})^2$:$ab - 1 = (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1)$.Подставим разложенный числитель обратно в исходную дробь:$\frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1}$.Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - 1)$ в числителе и знаменателе:$b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 1)$.Раскроем скобки, чтобы получить окончательный результат:$b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = a^{\frac{1}{2}}b^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})} + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b + b^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{2}}b + b^{\frac{1}{2}}$.

2) Исходное выражение: $\frac{b}{a-b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$. Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $(a-b)$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a-b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.Общим знаменателем является выражение $(a-b)$. Чтобы привести вторую дробь к этому знаменателю, домножим ее числитель и знаменатель на $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$:$\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a-b}$.Теперь выполним сложение дробей:$\frac{b}{a-b} + \frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a-b} = \frac{b + b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a-b}$.Упростим числитель, раскрыв скобки:$b + b^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = b + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - b = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$.В результате получаем:$\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b}$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b}$.

523. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt[4]{x^2 - 2x}$;

2) $\sqrt[3]{x^3 - x^2 - x - 1}$;

3) $(x^2 - 3x - 4)^\frac{1}{6}$;

4) $(x^3 - x^2 + x)^\frac{1}{3}$?

1) Выражение $\sqrt[4]{x^2 - 2x}$ является корнем четной степени (четвертой степени). Корень четной степени имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 2x \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Это означает, что выражение $x^2 - 2x$ принимает неотрицательные значения на промежутках, находящихся по краям от корней (включая сами корни).

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

2) Выражение $\sqrt[3]{x^3 - x^2 - x - 1}$ является корнем нечетной степени (третьей степени). Корень нечетной степени имеет смысл для любого действительного значения подкоренного выражения, так как можно извлечь кубический корень из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля).

Подкоренное выражение $x^3 - x^2 - x - 1$ является многочленом, который определен для всех действительных чисел $x$.

Следовательно, данное выражение имеет смысл при любых значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

3) Выражение $(x^2 - 3x - 4)^{\frac{1}{6}}$ можно представить в виде корня четной степени: $\sqrt[6]{x^2 - 3x - 4}$.

Как и в первом случае, выражение под корнем четной степени (или в основании степени с дробным показателем, знаменатель которого — четное число) должно быть неотрицательным. Решаем неравенство:

$x^2 - 3x - 4 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх. Значит, выражение $x^2 - 3x - 4$ неотрицательно на промежутках вне корней.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$.

4) Выражение $(x^3 - x^2 + x)^{\frac{1}{3}}$ можно представить в виде корня нечетной степени: $\sqrt[3]{x^3 - x^2 + x}$.

Корень нечетной степени (или степень с дробным показателем, знаменатель которого — нечетное число) определен для любого действительного значения выражения под корнем (в основании).

Выражение в основании степени, $x^3 - x^2 + x$, является многочленом и определено для всех действительных чисел $x$.

Следовательно, данное выражение имеет смысл при любых значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

524. Показать, что геометрическая прогрессия, заданная формулой $n$-го члена $b_n = 3 \cdot 2^{-n}$, — бесконечно убывающая.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Задана формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = 3 \cdot 2^{-n}$.

Чтобы доказать, что прогрессия является бесконечно убывающей, необходимо найти ее знаменатель $q$ и проверить, выполняется ли условие $|q| < 1$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти как отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

Найдем $(n+1)$-й член прогрессии, подставив в исходную формулу $n+1$ вместо $n$:

$b_{n+1} = 3 \cdot 2^{-(n+1)} = 3 \cdot 2^{-n-1}$

Теперь вычислим знаменатель $q$:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 2^{-n-1}}{3 \cdot 2^{-n}}$

Сократим на 3 и применим свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$q = \frac{2^{-n-1}}{2^{-n}} = 2^{(-n-1) - (-n)} = 2^{-n-1+n} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Таким образом, знаменатель прогрессии равен $q = \frac{1}{2}$.

Теперь проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, условие выполняется. Это означает, что данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Знаменатель данной геометрической прогрессии $q = \frac{1}{2}$. Так как $|q| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, что и требовалось доказать.

525. Найти третий член и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если $b_1 = 108$, $q = \frac{1}{3}$.

Найти третий член

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, а $n$ — номер искомого члена.

По условию задачи даны:

Первый член прогрессии $b_1 = 108$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

Необходимо найти третий член прогрессии, для которого $n=3$.

Подставим известные значения в формулу:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Выполним вычисления:

$b_3 = 108 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 108 \cdot \frac{1}{9}$

$b_3 = \frac{108}{9} = 12$

Ответ: 12

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $|q|$ меньше 1. В данном случае $|q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$, что удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Формула для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим известные значения $b_1 = 108$ и $q = \frac{1}{3}$ в формулу:

$S = \frac{108}{1 - \frac{1}{3}}$

Сначала вычислим знаменатель дроби:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем сумму:

$S = \frac{108}{\frac{2}{3}} = 108 \cdot \frac{3}{2}$

$S = \frac{108 \cdot 3}{2} = 54 \cdot 3 = 162$

Ответ: 162