Номер 523, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава IV. Степень с действительным показателем - номер 523, страница 167.

Условие.

523. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt[4]{x^2 - 2x}$;

2) $\sqrt[3]{x^3 - x^2 - x - 1}$;

3) $(x^2 - 3x - 4)^\frac{1}{6}$;

4) $(x^3 - x^2 + x)^\frac{1}{3}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Выражение $\sqrt[4]{x^2 - 2x}$ является корнем четной степени (четвертой степени). Корень четной степени имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 2x \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Это означает, что выражение $x^2 - 2x$ принимает неотрицательные значения на промежутках, находящихся по краям от корней (включая сами корни).

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

2) Выражение $\sqrt[3]{x^3 - x^2 - x - 1}$ является корнем нечетной степени (третьей степени). Корень нечетной степени имеет смысл для любого действительного значения подкоренного выражения, так как можно извлечь кубический корень из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля).

Подкоренное выражение $x^3 - x^2 - x - 1$ является многочленом, который определен для всех действительных чисел $x$.

Следовательно, данное выражение имеет смысл при любых значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

3) Выражение $(x^2 - 3x - 4)^{\frac{1}{6}}$ можно представить в виде корня четной степени: $\sqrt[6]{x^2 - 3x - 4}$.

Как и в первом случае, выражение под корнем четной степени (или в основании степени с дробным показателем, знаменатель которого — четное число) должно быть неотрицательным. Решаем неравенство:

$x^2 - 3x - 4 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх. Значит, выражение $x^2 - 3x - 4$ неотрицательно на промежутках вне корней.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$.

4) Выражение $(x^3 - x^2 + x)^{\frac{1}{3}}$ можно представить в виде корня нечетной степени: $\sqrt[3]{x^3 - x^2 + x}$.

Корень нечетной степени (или степень с дробным показателем, знаменатель которого — нечетное число) определен для любого действительного значения выражения под корнем (в основании).

Выражение в основании степени, $x^3 - x^2 + x$, является многочленом и определено для всех действительных чисел $x$.

Следовательно, данное выражение имеет смысл при любых значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.