Номер 529, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

529. Найти сумму, все слагаемые которой, начиная с первого, являются членами одной и той же геометрической прогрессии:

1) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}; 1; \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}; ...$

2) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}; -1; \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}; ...$

1) Данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии:

$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

Второй член прогрессии $b_2 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{3-2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2} = \frac{3-2\sqrt{2}}{9-8} = 3-2\sqrt{2}$

Прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ q = 3-2\sqrt{2} \approx 3-2 \cdot 1.414 = 3-2.828 = 0.172 $.

Поскольку $ |0.172| < 1 $, условие выполняется, и мы можем найти сумму по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{3+2\sqrt{2}}{1-(3-2\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1-3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}-1)}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $(\sqrt{2}+1)$:

$S = \frac{(3+2\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{2(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{3\sqrt{2}+3+2(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}}{2((\sqrt{2})^2-1^2)} = \frac{3\sqrt{2}+3+4+2\sqrt{2}}{2(2-1)} = \frac{7+5\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $ \frac{7+5\sqrt{2}}{2} $

2) Данная последовательность также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии:

$b_1 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

Второй член прогрессии $b_2 = -1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{2+\sqrt{3}} = \frac{-1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{-(2-\sqrt{3})}{2^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{-2+\sqrt{3}}{4-3} = \sqrt{3}-2$

Проверим условие $|q| < 1$.

Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ q = \sqrt{3}-2 \approx 1.732-2 = -0.268 $.

Поскольку $ |-0.268| < 1 $, условие выполняется, и мы можем найти сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{2+\sqrt{3}}{1-(\sqrt{3}-2)} = \frac{2+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}+2} = \frac{2+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $(3+\sqrt{3})$:

$S = \frac{(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{6+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{3^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{6+5\sqrt{3}+3}{9-3} = \frac{9+5\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $ \frac{9+5\sqrt{3}}{6} $