Номер 532, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

532. Упростить выражение $\sqrt{65+6\sqrt{14}} + \sqrt{65-6\sqrt{14}}$

Для упрощения данного выражения, состоящего из суммы двух иррациональных чисел, удобно использовать метод возведения в квадрат. Обозначим исходное выражение через X:
$X = \sqrt{65+6\sqrt{14}} + \sqrt{65-6\sqrt{14}}$
Поскольку арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, и подкоренные выражения $65+6\sqrt{14}$ и $65-6\sqrt{14}$ (так как $65^2 = 4225$, а $(6\sqrt{14})^2 = 36 \cdot 14 = 504$, и $4225 > 504$) положительны, то оба слагаемых в выражении для X являются положительными числами. Следовательно, их сумма X также положительна.
Возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$X^2 = \left(\sqrt{65+6\sqrt{14}} + \sqrt{65-6\sqrt{14}}\right)^2$
$X^2 = \left(\sqrt{65+6\sqrt{14}}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{65+6\sqrt{14}} \cdot \sqrt{65-6\sqrt{14}} + \left(\sqrt{65-6\sqrt{14}}\right)^2$
Теперь упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первый и третий члены:
$\left(\sqrt{65+6\sqrt{14}}\right)^2 = 65+6\sqrt{14}$
$\left(\sqrt{65-6\sqrt{14}}\right)^2 = 65-6\sqrt{14}$
Второй член (удвоенное произведение):
$2 \cdot \sqrt{65+6\sqrt{14}} \cdot \sqrt{65-6\sqrt{14}} = 2 \cdot \sqrt{(65+6\sqrt{14})(65-6\sqrt{14})}$
Выражение под корнем является разностью квадратов $(c+d)(c-d)=c^2-d^2$, где $c=65$ и $d=6\sqrt{14}$.
$2 \cdot \sqrt{65^2 - (6\sqrt{14})^2} = 2 \cdot \sqrt{4225 - 36 \cdot 14} = 2 \cdot \sqrt{4225 - 504} = 2 \cdot \sqrt{3721}$
Чтобы найти $\sqrt{3721}$, заметим, что $60^2=3600$, а последняя цифра числа 3721 равна 1, значит корень должен оканчиваться на 1 или 9. Проверим 61: $61^2 = 3721$. Значит, $\sqrt{3721}=61$.
Тогда удвоенное произведение равно $2 \cdot 61 = 122$.
Теперь подставим все упрощенные части обратно в выражение для $X^2$:
$X^2 = (65+6\sqrt{14}) + 122 + (65-6\sqrt{14})$
Сгруппируем слагаемые:
$X^2 = 65 + 65 + 122 + 6\sqrt{14} - 6\sqrt{14}$
Слагаемые, содержащие $\sqrt{14}$, взаимно уничтожаются:
$X^2 = 130 + 122 = 252$
Мы получили, что $X^2=252$. Чтобы найти X, нужно извлечь квадратный корень из 252. Так как мы установили, что X — положительное число, мы берем арифметический корень:
$X = \sqrt{252}$
Для упрощения корня разложим число 252 на простые множители или вынесем полный квадрат из-под знака корня:
$252 = 4 \cdot 63 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 36 \cdot 7$
$X = \sqrt{36 \cdot 7} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{7} = 6\sqrt{7}$

Ответ: $6\sqrt{7}$