Номер 539, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

539. 1) $\frac{(a-b)^2}{a^{3/2} - b^{3/2}} + \frac{a^2 - b^2}{(a^{1/2} + b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b)};$

2) $\left( \frac{3x^{2/3} + 5x^{1/3}}{x+1} + \frac{1}{x^{1/3} + 1} \right) : \left( 4x^{1/3} + 4 + \frac{1}{x^{1/3}} \right).$

1) Для упрощения данного выражения выполним действия поочередно. Сначала преобразуем каждую из дробей, а затем сложим их.

Исходное выражение: $ \frac{(a-b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^2 - b^2}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} $.

1. Рассмотрим знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=a^{\frac{1}{2}}$ и $y=b^{\frac{1}{2}}$:

$ a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $.

2. Приведем обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением уникальных множителей из обоих знаменателей:

$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) = (a-b)(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $.

3. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $:

$ \frac{(a-b)^2(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{(a-b)^2(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{(a-b)(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a-b)(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $.

4. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) $. Числитель $a^2-b^2$ разложим как $(a-b)(a+b)$:

$ \frac{(a-b)(a+b)(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{(a-b)(a+b)(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{(a-b)(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a+b)(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $.

5. Теперь сложим полученные дроби, так как у них одинаковые знаменатели:

$ \frac{(a-b)(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) + (a+b)(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $.

6. Раскроем скобки в числителе:

$ (a^{3/2} + ab^{1/2} - a^{1/2}b - b^{3/2}) + (a^{3/2} - ab^{1/2} + a^{1/2}b - b^{3/2}) = 2a^{\frac{3}{2}} - 2b^{\frac{3}{2}} = 2(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}) $.

7. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{2(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $.

8. Снова используем разложение разности кубов для числителя и сократим дробь:

$ \frac{2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = 2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) $.

Ответ: $2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$.

2) Для упрощения данного выражения сначала выполним действия в скобках, а затем деление.

Исходное выражение: $ \left( \frac{3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}}{x+1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1} \right) : \left( 4x^{\frac{1}{3}} + 4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \right) $.

1. Для удобства введем замену: пусть $y = x^{\frac{1}{3}}$. Тогда $y^2 = x^{\frac{2}{3}}$ и $y^3 = x$. Выражение примет вид:

$ \left( \frac{3y^2 + 5y}{y^3+1} + \frac{1}{y+1} \right) : \left( 4y + 4 + \frac{1}{y} \right) $.

2. Упростим выражение в первой скобке. Знаменатель $y^3+1$ можно разложить по формуле суммы кубов: $y^3+1 = (y+1)(y^2-y+1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{3y^2 + 5y}{(y+1)(y^2-y+1)} + \frac{1 \cdot (y^2-y+1)}{(y+1)(y^2-y+1)} = \frac{3y^2+5y+y^2-y+1}{y^3+1} = \frac{4y^2+4y+1}{y^3+1} $.

Числитель $4y^2+4y+1$ является полным квадратом: $(2y+1)^2$. Итак, первая скобка равна $ \frac{(2y+1)^2}{y^3+1} $.

3. Упростим выражение во второй скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $y$:

$ 4y + 4 + \frac{1}{y} = \frac{4y \cdot y}{y} + \frac{4y}{y} + \frac{1}{y} = \frac{4y^2+4y+1}{y} $.

Числитель также равен $(2y+1)^2$. Итак, вторая скобка равна $ \frac{(2y+1)^2}{y} $.

4. Теперь выполним деление:

$ \frac{(2y+1)^2}{y^3+1} : \frac{(2y+1)^2}{y} = \frac{(2y+1)^2}{y^3+1} \cdot \frac{y}{(2y+1)^2} $.

5. Сократим общий множитель $(2y+1)^2$ (при условии, что он не равен нулю):

$ \frac{y}{y^3+1} $.

6. Сделаем обратную замену $y = x^{\frac{1}{3}}$:

$ \frac{x^{\frac{1}{3}}}{(x^{\frac{1}{3}})^3+1} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x+1} $.

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x+1}$.