Номер 542, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

542. Установить, верно ли равенство:

1) $\sqrt{10+\sqrt{7}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}}=1+\sqrt{3-\sqrt{6}+\sqrt{7+2\sqrt{6}}}$;

2) $\sqrt{2-\sqrt{5+\sqrt{3-\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}}}=1$.

1) Для проверки верности равенства $\sqrt{10+\sqrt{7}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}} = 1+\sqrt{3-\sqrt{6}+\sqrt{7+2\sqrt{6}}}$ преобразуем обе его части по отдельности.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ будем использовать метод выделения полного квадрата подкоренного выражения, основанный на формуле $(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 = x+y \pm 2\sqrt{xy}$.

Упростим выражение $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$. Здесь мы ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение равно 7. Это числа 7 и 1.
Следовательно, $8+2\sqrt{7} = 7+1+2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7}+1)^2$.
Тогда $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$.

Подставим полученное значение в левую часть исходного равенства:
$\sqrt{10+\sqrt{7}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}} = \sqrt{10+\sqrt{7}-(\sqrt{7}+1)} = \sqrt{10+\sqrt{7}-\sqrt{7}-1} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь преобразуем правую часть равенства: $1+\sqrt{3-\sqrt{6}+\sqrt{7+2\sqrt{6}}}$.

Упростим внутренний радикал $\sqrt{7+2\sqrt{6}}$. Ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение 6. Это числа 6 и 1.
Следовательно, $7+2\sqrt{6} = 6+1+2\sqrt{6 \cdot 1} = (\sqrt{6}+1)^2$.
Тогда $\sqrt{7+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6}+1)^2} = \sqrt{6}+1$.

Подставим это выражение в правую часть:
$1+\sqrt{3-\sqrt{6}+\sqrt{7+2\sqrt{6}}} = 1+\sqrt{3-\sqrt{6}+(\sqrt{6}+1)} = 1+\sqrt{3-\sqrt{6}+\sqrt{6}+1} = 1+\sqrt{4} = 1+2 = 3$.

Поскольку левая и правая части равенства равны 3 ($3=3$), исходное равенство верно.

Ответ: равенство верно.

2) Проверим верность равенства $\sqrt{2-\sqrt{5+\sqrt{3}-\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}} = 1$.

Будем упрощать выражение в левой части, двигаясь от самого внутреннего радикала к внешнему. Для упрощения будем использовать ту же формулу, что и в первом пункте: $\sqrt{x+y \pm 2\sqrt{xy}} = |\sqrt{x} \pm \sqrt{y}|$.

1. Упростим $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$.
Здесь ищем два числа, сумма которых 4, а произведение 3. Это 3 и 1.
$4-2\sqrt{3} = 3+1-2\sqrt{3 \cdot 1} = (\sqrt{3}-1)^2$.
$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1$ (поскольку $\sqrt{3} > 1$).

2. Подставим результат в следующий радикал: $\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt{3}}}$.
$\sqrt{27+8(\sqrt{3}-1)} = \sqrt{27+8\sqrt{3}-8} = \sqrt{19+8\sqrt{3}}$.

3. Упростим $\sqrt{19+8\sqrt{3}}$. Представим $8\sqrt{3}$ в виде $2\sqrt{B}$: $8\sqrt{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{16 \cdot 3} = 2\sqrt{48}$.
Получаем $\sqrt{19+2\sqrt{48}}$. Ищем два числа, сумма которых 19, а произведение 48. Это 16 и 3.
$19+2\sqrt{48} = 16+3+2\sqrt{16 \cdot 3} = (\sqrt{16}+\sqrt{3})^2 = (4+\sqrt{3})^2$.
$\sqrt{19+8\sqrt{3}} = \sqrt{(4+\sqrt{3})^2} = 4+\sqrt{3}$.

4. Подставим результат в следующий радикал: $\sqrt{5+\sqrt{3}-\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}$.
$\sqrt{5+\sqrt{3}-(4+\sqrt{3})} = \sqrt{5+\sqrt{3}-4-\sqrt{3}} = \sqrt{1} = 1$.

5. Наконец, подставим результат в самый внешний радикал:
$\sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$.

Левая часть равенства равна 1, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно.

Ответ: равенство верно.