Номер 541, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

541. Доказать справедливость равенства:

1) $\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$, если $a > 0, a^2 \ge b > 0;

2) $\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$, если $a > 0, a^2 \ge b > 0.

1) Для доказательства равенства $ \sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $ при условиях $ a > 0, a^2 \ge b > 0 $, возведем обе части равенства в квадрат. Перед этим убедимся, что обе части неотрицательны и все выражения под корнями корректно определены.

Условия $ a > 0 $ и $ a^2 \ge b > 0 $ гарантируют, что все подкоренные выражения являются действительными и неотрицательными. В частности:

• $ a + \sqrt{b} > 0 $, так как $ a > 0 $ и $ b > 0 $.
• $ a^2 - b \ge 0 $ по условию.
• $ a + \sqrt{a^2 - b} \ge 0 $, так как $ a > 0 $ и $ \sqrt{a^2 - b} \ge 0 $.
• $ a - \sqrt{a^2 - b} \ge 0 $, так как из $ a^2 \ge a^2 - b $ следует $ \sqrt{a^2} \ge \sqrt{a^2 - b} $, и поскольку $ a > 0 $, то $ a \ge \sqrt{a^2 - b} $.

Обе части равенства являются суммами неотрицательных чисел, следовательно, они неотрицательны. Таким образом, если их квадраты равны, то и сами выражения равны.

Квадрат левой части:

$ (\sqrt{a + \sqrt{b}})^2 = a + \sqrt{b} $.

Квадрат правой части, используя формулу $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $:

$ \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 = $

$ = \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \left(\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 = $

$ = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + 2 \cdot \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b})(a - \sqrt{a^2 - b})}{4}} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} $

Сгруппируем первый и третий члены:

$ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{a + \sqrt{a^2 - b} + a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{2a}{2} = a $.

Теперь преобразуем средний член. В числителе под корнем применим формулу разности квадратов $ (u+v)(u-v)=u^2-v^2 $:

$ 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (\sqrt{a^2-b})^2}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (a^2-b)}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - a^2 + b}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{b}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{b}}{2} = \sqrt{b} $.

Сложив полученные результаты, получаем, что квадрат правой части равен $ a + \sqrt{b} $.

Поскольку квадраты левой и правой частей равны ($ a + \sqrt{b} = a + \sqrt{b} $) и обе части исходного равенства неотрицательны, то равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $ \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $ при условиях $ a > 0, a^2 \ge b > 0 $, также возведем обе части в квадрат.

Как и в первом пункте, все выражения под корнями определены и неотрицательны. Условие $ a^2 \ge b $ обеспечивает, что $ a \ge \sqrt{b} $, поэтому левая часть $ \sqrt{a - \sqrt{b}} $ определена и неотрицательна. Правая часть также неотрицательна, так как $ a + \sqrt{a^2 - b} \ge a - \sqrt{a^2 - b} $, что эквивалентно $ 2\sqrt{a^2-b} \ge 0 $, а это верно. Следовательно, из равенства квадратов будет следовать равенство исходных выражений.

Квадрат левой части:

$ (\sqrt{a - \sqrt{b}})^2 = a - \sqrt{b} $.

Квадрат правой части, используя формулу $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $:

$ \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 = $

$ = \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 - 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \left(\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 = $

$ = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} - 2 \cdot \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b})(a - \sqrt{a^2 - b})}{4}} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} $

Сумма первого и третьего членов, как и в пункте 1), равна:

$ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = a $.

Вычитаемое (удвоенное произведение), как и в пункте 1), равно:

$ 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (a^2-b)}{4}} = \sqrt{b} $.

Таким образом, квадрат правой части равен $ a - \sqrt{b} $.

Поскольку квадраты левой и правой частей равны ($ a - \sqrt{b} = a - \sqrt{b} $) и обе части исходного равенства неотрицательны, то равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.