Страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

537. Вычислить:

1) $(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16});$

2) $(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}).$

1) $(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16})$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
Обозначим $a = \sqrt[3]{7}$ и $b = \sqrt[3]{4}$.
Тогда первая скобка $(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{4})$ соответствует $(a - b)$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка $(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16})$ выражению $(a^2 + ab + b^2)$.
$a^2 = (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$.
$ab = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{7 \cdot 4} = \sqrt[3]{28}$.
$b^2 = (\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16}$.
Действительно, вторая скобка равна $a^2 + ab + b^2$.
Следовательно, исходное выражение можно свернуть по формуле разности кубов:
$(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16}) = (\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{4})^3 = 7 - 4 = 3$.
Ответ: 3

2) $(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
Переставим множители местами для удобства: $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})$.
Обозначим $a = \sqrt[3]{2}$ и $b = \sqrt[3]{5}$.
Тогда первая скобка $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$ соответствует $(a + b)$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка $(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})$ выражению $(a^2 - ab + b^2)$.
$a^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.
$ab = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2 \cdot 5} = \sqrt[3]{10}$.
$b^2 = (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$.
Действительно, вторая скобка равна $a^2 - ab + b^2$.
Следовательно, исходное выражение можно свернуть по формуле суммы кубов:
$(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25}) = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 = 2 + 5 = 7$.
Ответ: 7

Упростить выражение (538—540).

538.

1) $ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} - \frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}} $

2) $ \frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}} - \frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} $

3) $ \frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}} + \sqrt[3]{y} $

4) $ \frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}} - 1 $

1) Исходное выражение: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} - \frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}$.
Упростим первую дробь. Числитель $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ можно представить как разность квадратов, так как $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2$.
$\sqrt{x}-\sqrt{y} = (\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2 = (\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})$.
Тогда первая дробь равна: $\frac{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} = \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}$.
Упростим вторую дробь. В числителе $\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}$ вынесем общий множитель $\sqrt[4]{x}$ за скобки.
$\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy} = (\sqrt[4]{x})^2 + \sqrt[4]{x}\sqrt[4]{y} = \sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})$.
Тогда вторая дробь равна: $\frac{\sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}} = \sqrt[4]{x}$.
Теперь выполним вычитание: $(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}) - \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{y}$.
Ответ: $\sqrt[4]{y}$.

2) Исходное выражение: $\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}} - \frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$.
Для первой дроби воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=\sqrt[3]{x}$ и $b=\sqrt[3]{y}$.
$x-y = (\sqrt[3]{x})^3 - (\sqrt[3]{y})^3 = (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})$.
Тогда первая дробь: $\frac{(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}$.
Для второй дроби воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
$x+y = (\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 = (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})$.
Тогда вторая дробь: $\frac{(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}$.
Выполним вычитание: $(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}) - (\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}) = \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2} - \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}-\sqrt[3]{y^2} = 2\sqrt[3]{xy}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{xy}$.

3) Исходное выражение: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}} + \sqrt[3]{y}$.
Заметим, что числитель дроби можно представить как разность квадратов, так как $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ и $\sqrt[3]{y^2} = (\sqrt[3]{y})^2$.
$\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2} = (\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[3]{y})^2 = (\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y})$.
Подставим это выражение в дробь и сократим:
$\frac{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y})}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}} = \sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{y}$.
Теперь добавим оставшийся член выражения:
$(\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{y}) + \sqrt[3]{y} = \sqrt[4]{x}$.
Ответ: $\sqrt[4]{x}$.

4) Исходное выражение: $\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}} - 1$.
Преобразуем числитель и знаменатель дроби.
Числитель: $x\sqrt{x}-y\sqrt{y} = (\sqrt{x})^2\sqrt{x} - (\sqrt{y})^2\sqrt{y} = (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3$. Применим формулу разности кубов: $(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)$.
Знаменатель: $x\sqrt{y}-y\sqrt{x} = \sqrt{x^2y} - \sqrt{y^2x}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{xy}$: $\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$.
Сократим дробь на $(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ (при условии, что $x \neq y$): $\frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}}$.
Теперь вычтем 1: $\frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}} - 1 = \frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}} - \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \frac{x+\sqrt{xy}+y-\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} = \frac{x+y}{\sqrt{xy}}$.
Ответ: $\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$.

539. 1) $\frac{(a-b)^2}{a^{3/2} - b^{3/2}} + \frac{a^2 - b^2}{(a^{1/2} + b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b)};$

2) $\left( \frac{3x^{2/3} + 5x^{1/3}}{x+1} + \frac{1}{x^{1/3} + 1} \right) : \left( 4x^{1/3} + 4 + \frac{1}{x^{1/3}} \right).$

1) Для упрощения данного выражения выполним действия поочередно. Сначала преобразуем каждую из дробей, а затем сложим их.

Исходное выражение: $ \frac{(a-b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^2 - b^2}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} $.

1. Рассмотрим знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=a^{\frac{1}{2}}$ и $y=b^{\frac{1}{2}}$:

$ a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $.

2. Приведем обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением уникальных множителей из обоих знаменателей:

$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) = (a-b)(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $.

3. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $:

$ \frac{(a-b)^2(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{(a-b)^2(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{(a-b)(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a-b)(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $.

4. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) $. Числитель $a^2-b^2$ разложим как $(a-b)(a+b)$:

$ \frac{(a-b)(a+b)(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{(a-b)(a+b)(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{(a-b)(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = \frac{(a+b)(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $.

5. Теперь сложим полученные дроби, так как у них одинаковые знаменатели:

$ \frac{(a-b)(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) + (a+b)(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $.

6. Раскроем скобки в числителе:

$ (a^{3/2} + ab^{1/2} - a^{1/2}b - b^{3/2}) + (a^{3/2} - ab^{1/2} + a^{1/2}b - b^{3/2}) = 2a^{\frac{3}{2}} - 2b^{\frac{3}{2}} = 2(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}) $.

7. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{2(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $.

8. Снова используем разложение разности кубов для числителя и сократим дробь:

$ \frac{2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = 2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) $.

Ответ: $2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$.

2) Для упрощения данного выражения сначала выполним действия в скобках, а затем деление.

Исходное выражение: $ \left( \frac{3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}}{x+1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1} \right) : \left( 4x^{\frac{1}{3}} + 4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \right) $.

1. Для удобства введем замену: пусть $y = x^{\frac{1}{3}}$. Тогда $y^2 = x^{\frac{2}{3}}$ и $y^3 = x$. Выражение примет вид:

$ \left( \frac{3y^2 + 5y}{y^3+1} + \frac{1}{y+1} \right) : \left( 4y + 4 + \frac{1}{y} \right) $.

2. Упростим выражение в первой скобке. Знаменатель $y^3+1$ можно разложить по формуле суммы кубов: $y^3+1 = (y+1)(y^2-y+1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{3y^2 + 5y}{(y+1)(y^2-y+1)} + \frac{1 \cdot (y^2-y+1)}{(y+1)(y^2-y+1)} = \frac{3y^2+5y+y^2-y+1}{y^3+1} = \frac{4y^2+4y+1}{y^3+1} $.

Числитель $4y^2+4y+1$ является полным квадратом: $(2y+1)^2$. Итак, первая скобка равна $ \frac{(2y+1)^2}{y^3+1} $.

3. Упростим выражение во второй скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $y$:

$ 4y + 4 + \frac{1}{y} = \frac{4y \cdot y}{y} + \frac{4y}{y} + \frac{1}{y} = \frac{4y^2+4y+1}{y} $.

Числитель также равен $(2y+1)^2$. Итак, вторая скобка равна $ \frac{(2y+1)^2}{y} $.

4. Теперь выполним деление:

$ \frac{(2y+1)^2}{y^3+1} : \frac{(2y+1)^2}{y} = \frac{(2y+1)^2}{y^3+1} \cdot \frac{y}{(2y+1)^2} $.

5. Сократим общий множитель $(2y+1)^2$ (при условии, что он не равен нулю):

$ \frac{y}{y^3+1} $.

6. Сделаем обратную замену $y = x^{\frac{1}{3}}$:

$ \frac{x^{\frac{1}{3}}}{(x^{\frac{1}{3}})^3+1} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x+1} $.

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x+1}$.

540. 1) $\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}+1} \cdot a^{\frac{1}{4}} - \sqrt{a}$;

2) $\frac{\sqrt[3]{a}-a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}-\sqrt[3]{a^4}} + \frac{a^{-\frac{1}{3}}-(\sqrt[3]{a})^5}{a^{\frac{2}{3}}-(\sqrt[3]{a})^{-1}}$

1)

Для упрощения выражения $ \frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot a^{\frac{1}{4}} - \sqrt{a} $ введем замену.

Пусть $x = a^{\frac{1}{4}}$. Тогда $x^2 = a^{\frac{1}{2}}$, $x^3 = a^{\frac{3}{4}}$, $x^4 = a$, и $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} = x^2$. Область допустимых значений: $a > 0$, следовательно $x > 0$.

Подставим замену в выражение:

$ \frac{x^4-1}{x^3 + x^2} \cdot \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} \cdot x - x^2 $

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

$x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$
$x^3 + x^2 = x^2(x+1)$
$x^2 + x = x(x+1)$

Подставим разложенные на множители выражения обратно:

$ \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^2(x+1)} \cdot \frac{x(x+1)}{x^2+1} \cdot x - x^2 $

Сократим общие множители. Так как $a>0$, то $x>0$, и, следовательно, $x+1 \neq 0$ и $x^2+1 \neq 0$.

$ \frac{(x-1)\sout{(x+1)}(x^2+1)}{x^2\sout{(x+1)}} \cdot \frac{x(x+1)}{x^2+1} \cdot x - x^2 = \frac{(x-1)(x^2+1)}{x^2} \cdot \frac{x(x+1)}{x^2+1} \cdot x - x^2$

Сократим $(x^2+1)$:

$ \frac{x-1}{x^2} \cdot x(x+1) \cdot x - x^2 $

Выполним умножение оставшихся членов:

$ \frac{(x-1)x(x+1)x}{x^2} - x^2 = \frac{(x-1)(x+1)x^2}{x^2} - x^2 $

Сократим $x^2$ (так как $x \neq 0$):

$ (x-1)(x+1) - x^2 $

Применив формулу разности квадратов $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$, получим:

$ (x^2 - 1) - x^2 = x^2 - 1 - x^2 = -1 $

Ответ: -1

2)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt[3]{a} - a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{a^4}} + \frac{a^{-\frac{1}{3}} - (\sqrt[3]{a})^5}{a^{\frac{2}{3}} - (\sqrt[3]{a})^{-1}} $.

Сначала запишем все члены выражения в виде степеней с рациональными показателями. Область допустимых значений переменной $a$: $a > 0$ и $a \neq 1$.

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}}$
$(\sqrt[3]{a})^5 = (a^{\frac{1}{3}})^5 = a^{\frac{5}{3}}$
$(\sqrt[3]{a})^{-1} = (a^{\frac{1}{3}})^{-1} = a^{-\frac{1}{3}}$

После подстановки выражение примет вид:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{4}{3}}} + \frac{a^{-\frac{1}{3}} - a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}} $

Упростим каждую дробь по отдельности. Для первой дроби вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}}(1 - a^{\frac{7}{3}-\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}}(1 - a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}}(1 - a^2)}{a^{\frac{1}{3}}(1 - a)} = \frac{1 - a^2}{1 - a} $

Разложим числитель по формуле разности квадратов $1 - a^2 = (1-a)(1+a)$ и сократим дробь:

$ \frac{(1-a)(1+a)}{1-a} = 1+a $

Теперь упростим вторую дробь. Вынесем за скобки общий множитель $a^{-\frac{1}{3}}$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{a^{-\frac{1}{3}}(1 - a^{\frac{5}{3}-(-\frac{1}{3})})}{a^{-\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}-(-\frac{1}{3})} - 1)} = \frac{a^{-\frac{1}{3}}(1 - a^{\frac{6}{3}})}{a^{-\frac{1}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 1)} = \frac{1 - a^2}{a - 1} $

Разложим числитель и сократим дробь:

$ \frac{(1-a)(1+a)}{a-1} = \frac{-(a-1)(1+a)}{a-1} = -(1+a) = -1-a $

Наконец, сложим полученные выражения:

$ (1+a) + (-1-a) = 1+a-1-a = 0 $

Ответ: 0

541. Доказать справедливость равенства:

1) $\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$, если $a > 0, a^2 \ge b > 0;

2) $\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$, если $a > 0, a^2 \ge b > 0.

1) Для доказательства равенства $ \sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $ при условиях $ a > 0, a^2 \ge b > 0 $, возведем обе части равенства в квадрат. Перед этим убедимся, что обе части неотрицательны и все выражения под корнями корректно определены.

Условия $ a > 0 $ и $ a^2 \ge b > 0 $ гарантируют, что все подкоренные выражения являются действительными и неотрицательными. В частности:

• $ a + \sqrt{b} > 0 $, так как $ a > 0 $ и $ b > 0 $.
• $ a^2 - b \ge 0 $ по условию.
• $ a + \sqrt{a^2 - b} \ge 0 $, так как $ a > 0 $ и $ \sqrt{a^2 - b} \ge 0 $.
• $ a - \sqrt{a^2 - b} \ge 0 $, так как из $ a^2 \ge a^2 - b $ следует $ \sqrt{a^2} \ge \sqrt{a^2 - b} $, и поскольку $ a > 0 $, то $ a \ge \sqrt{a^2 - b} $.

Обе части равенства являются суммами неотрицательных чисел, следовательно, они неотрицательны. Таким образом, если их квадраты равны, то и сами выражения равны.

Квадрат левой части:

$ (\sqrt{a + \sqrt{b}})^2 = a + \sqrt{b} $.

Квадрат правой части, используя формулу $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $:

$ \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 = $

$ = \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \left(\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 = $

$ = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + 2 \cdot \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b})(a - \sqrt{a^2 - b})}{4}} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} $

Сгруппируем первый и третий члены:

$ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{a + \sqrt{a^2 - b} + a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{2a}{2} = a $.

Теперь преобразуем средний член. В числителе под корнем применим формулу разности квадратов $ (u+v)(u-v)=u^2-v^2 $:

$ 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (\sqrt{a^2-b})^2}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (a^2-b)}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - a^2 + b}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{b}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{b}}{2} = \sqrt{b} $.

Сложив полученные результаты, получаем, что квадрат правой части равен $ a + \sqrt{b} $.

Поскольку квадраты левой и правой частей равны ($ a + \sqrt{b} = a + \sqrt{b} $) и обе части исходного равенства неотрицательны, то равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $ \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $ при условиях $ a > 0, a^2 \ge b > 0 $, также возведем обе части в квадрат.

Как и в первом пункте, все выражения под корнями определены и неотрицательны. Условие $ a^2 \ge b $ обеспечивает, что $ a \ge \sqrt{b} $, поэтому левая часть $ \sqrt{a - \sqrt{b}} $ определена и неотрицательна. Правая часть также неотрицательна, так как $ a + \sqrt{a^2 - b} \ge a - \sqrt{a^2 - b} $, что эквивалентно $ 2\sqrt{a^2-b} \ge 0 $, а это верно. Следовательно, из равенства квадратов будет следовать равенство исходных выражений.

Квадрат левой части:

$ (\sqrt{a - \sqrt{b}})^2 = a - \sqrt{b} $.

Квадрат правой части, используя формулу $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $:

$ \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 = $

$ = \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 - 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \left(\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 = $

$ = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} - 2 \cdot \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b})(a - \sqrt{a^2 - b})}{4}} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} $

Сумма первого и третьего членов, как и в пункте 1), равна:

$ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = a $.

Вычитаемое (удвоенное произведение), как и в пункте 1), равно:

$ 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (a^2-b)}{4}} = \sqrt{b} $.

Таким образом, квадрат правой части равен $ a - \sqrt{b} $.

Поскольку квадраты левой и правой частей равны ($ a - \sqrt{b} = a - \sqrt{b} $) и обе части исходного равенства неотрицательны, то равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

542. Установить, верно ли равенство:

1) $\sqrt{10+\sqrt{7}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}}=1+\sqrt{3-\sqrt{6}+\sqrt{7+2\sqrt{6}}}$;

2) $\sqrt{2-\sqrt{5+\sqrt{3-\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}}}=1$.

1) Для проверки верности равенства $\sqrt{10+\sqrt{7}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}} = 1+\sqrt{3-\sqrt{6}+\sqrt{7+2\sqrt{6}}}$ преобразуем обе его части по отдельности.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ будем использовать метод выделения полного квадрата подкоренного выражения, основанный на формуле $(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 = x+y \pm 2\sqrt{xy}$.

Упростим выражение $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$. Здесь мы ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение равно 7. Это числа 7 и 1.
Следовательно, $8+2\sqrt{7} = 7+1+2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7}+1)^2$.
Тогда $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$.

Подставим полученное значение в левую часть исходного равенства:
$\sqrt{10+\sqrt{7}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}} = \sqrt{10+\sqrt{7}-(\sqrt{7}+1)} = \sqrt{10+\sqrt{7}-\sqrt{7}-1} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь преобразуем правую часть равенства: $1+\sqrt{3-\sqrt{6}+\sqrt{7+2\sqrt{6}}}$.

Упростим внутренний радикал $\sqrt{7+2\sqrt{6}}$. Ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение 6. Это числа 6 и 1.
Следовательно, $7+2\sqrt{6} = 6+1+2\sqrt{6 \cdot 1} = (\sqrt{6}+1)^2$.
Тогда $\sqrt{7+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6}+1)^2} = \sqrt{6}+1$.

Подставим это выражение в правую часть:
$1+\sqrt{3-\sqrt{6}+\sqrt{7+2\sqrt{6}}} = 1+\sqrt{3-\sqrt{6}+(\sqrt{6}+1)} = 1+\sqrt{3-\sqrt{6}+\sqrt{6}+1} = 1+\sqrt{4} = 1+2 = 3$.

Поскольку левая и правая части равенства равны 3 ($3=3$), исходное равенство верно.

Ответ: равенство верно.

2) Проверим верность равенства $\sqrt{2-\sqrt{5+\sqrt{3}-\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}} = 1$.

Будем упрощать выражение в левой части, двигаясь от самого внутреннего радикала к внешнему. Для упрощения будем использовать ту же формулу, что и в первом пункте: $\sqrt{x+y \pm 2\sqrt{xy}} = |\sqrt{x} \pm \sqrt{y}|$.

1. Упростим $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$.
Здесь ищем два числа, сумма которых 4, а произведение 3. Это 3 и 1.
$4-2\sqrt{3} = 3+1-2\sqrt{3 \cdot 1} = (\sqrt{3}-1)^2$.
$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1$ (поскольку $\sqrt{3} > 1$).

2. Подставим результат в следующий радикал: $\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt{3}}}$.
$\sqrt{27+8(\sqrt{3}-1)} = \sqrt{27+8\sqrt{3}-8} = \sqrt{19+8\sqrt{3}}$.

3. Упростим $\sqrt{19+8\sqrt{3}}$. Представим $8\sqrt{3}$ в виде $2\sqrt{B}$: $8\sqrt{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{16 \cdot 3} = 2\sqrt{48}$.
Получаем $\sqrt{19+2\sqrt{48}}$. Ищем два числа, сумма которых 19, а произведение 48. Это 16 и 3.
$19+2\sqrt{48} = 16+3+2\sqrt{16 \cdot 3} = (\sqrt{16}+\sqrt{3})^2 = (4+\sqrt{3})^2$.
$\sqrt{19+8\sqrt{3}} = \sqrt{(4+\sqrt{3})^2} = 4+\sqrt{3}$.

4. Подставим результат в следующий радикал: $\sqrt{5+\sqrt{3}-\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}$.
$\sqrt{5+\sqrt{3}-(4+\sqrt{3})} = \sqrt{5+\sqrt{3}-4-\sqrt{3}} = \sqrt{1} = 1$.

5. Наконец, подставим результат в самый внешний радикал:
$\sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$.

Левая часть равенства равна 1, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

543. Найти значение выражения:

$\frac{(x^2+9)^{-0.5}+(x^2-9)^{-0.5}}{(x^2+9)^{-0.5}-(x^2-9)^{-0.5}}$ при $x = 3\left(\frac{a^2+b^2}{2ab}\right)^{0.5}$.

Для нахождения значения выражения, обозначим его через $E$:

$E = \frac{(x^2 + 9)^{-0.5} + (x^2 - 9)^{-0.5}}{(x^2 + 9)^{-0.5} - (x^2 - 9)^{-0.5}}$

Сначала определим область допустимых значений. Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренные выражения были положительными. В частности, $(x^2 - 9)$ в степени $-0.5$ требует, чтобы $x^2 - 9 > 0$.

Нам дано значение $x$:

$x = 3 \left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} \right)^{0.5}$

Для того чтобы $x$ был действительным числом, выражение под корнем должно быть неотрицательным. Так как $a^2 + b^2 \ge 0$, требуется, чтобы $2ab > 0$, что означает $ab > 0$. То есть, $a$ и $b$ должны быть одного знака.

Возведем $x$ в квадрат:

$x^2 = 3^2 \left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} \right) = 9 \frac{a^2 + b^2}{2ab}$

Проверим условие $x^2 - 9 > 0$:

$x^2 - 9 = 9 \frac{a^2 + b^2}{2ab} - 9 = 9 \left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} - 1 \right) = 9 \left( \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{2ab} \right) = \frac{9(a-b)^2}{2ab}$

Поскольку $ab > 0$ и $(a-b)^2 \ge 0$, для выполнения условия $x^2 - 9 > 0$ необходимо, чтобы $(a-b)^2 \neq 0$, то есть $a \neq b$.

Теперь упростим исходное выражение $E$. Используя свойство $y^{-0.5} = \frac{1}{\sqrt{y}}$, перепишем $E$:

$E = \frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+9}} + \frac{1}{\sqrt{x^2-9}}}{\frac{1}{\sqrt{x^2+9}} - \frac{1}{\sqrt{x^2-9}}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x^2+9}\sqrt{x^2-9}$:

$E = \frac{\sqrt{x^2-9} + \sqrt{x^2+9}}{\sqrt{x^2-9} - \sqrt{x^2+9}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{x^2-9} + \sqrt{x^2+9})$:

$E = \frac{(\sqrt{x^2-9} + \sqrt{x^2+9})^2}{(\sqrt{x^2-9} - \sqrt{x^2+9})(\sqrt{x^2-9} + \sqrt{x^2+9})}$

В знаменателе получаем разность квадратов:

$E = \frac{(x^2-9) + (x^2+9) + 2\sqrt{(x^2-9)(x^2+9)}}{(x^2-9) - (x^2+9)}$

$E = \frac{2x^2 + 2\sqrt{x^4-81}}{-18} = -\frac{x^2 + \sqrt{x^4-81}}{9}$

Теперь подставим в это выражение $x^2 = 9 \frac{a^2 + b^2}{2ab}$:

$E = -\frac{1}{9} \left( 9 \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \sqrt{\left(9 \frac{a^2 + b^2}{2ab}\right)^2 - 81} \right)$

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{1}{9} \sqrt{81 \left( \left(\frac{a^2 + b^2}{2ab}\right)^2 - 1 \right)} \right)$

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2}{(2ab)^2} - 1} \right)$

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2 - (2ab)^2}{(2ab)^2}} \right)$

Так как $ab > 0$, то $\sqrt{(2ab)^2} = 2ab$. Упростим выражение под корнем в числителе:

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{\sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2}}{2ab} \right)$

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{\sqrt{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}}{2ab} \right)$

$E = -\left( \frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{\sqrt{(a^2-b^2)^2}}{2ab} \right)$

По определению корня, $\sqrt{(a^2-b^2)^2} = |a^2-b^2|$.

$E = -\frac{a^2+b^2+|a^2-b^2|}{2ab}$

Значение выражения зависит от соотношения между $|a|$ и $|b|$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $|a| > |b|$. В этом случае $a^2 > b^2$, и $|a^2-b^2| = a^2-b^2$.

$E = -\frac{a^2+b^2 + (a^2-b^2)}{2ab} = -\frac{2a^2}{2ab} = -\frac{a}{b}$

Случай 2: $|b| > |a|$. В этом случае $b^2 > a^2$, и $|a^2-b^2| = -(a^2-b^2) = b^2-a^2$.

$E = -\frac{a^2+b^2 + (b^2-a^2)}{2ab} = -\frac{2b^2}{2ab} = -\frac{b}{a}$

Таким образом, значение выражения зависит от соотношения величин $a$ и $b$.

Ответ: Значение выражения равно $-\frac{a}{b}$, если $|a|>|b|$, и $-\frac{b}{a}$, если $|b|>|a|$.

544. Доказать, что $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = 2.$

Для доказательства данного равенства обозначим все выражение переменной $x$:

$x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$

Теперь возведем обе части этого равенства в куб. Для этого воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3$

$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}})^3 + (\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} \cdot (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})$

Упростим полученное выражение по частям.

Сумма кубов первых двух слагаемых:

$(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}})^3 + (\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3 = (7+5\sqrt{2}) + (7-5\sqrt{2}) = 14$

Произведение корней, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$3 \cdot \sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2})} = 3 \cdot \sqrt[3]{7^2 - (5\sqrt{2})^2} = 3 \cdot \sqrt[3]{49 - 25 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt[3]{49 - 50} = 3 \cdot \sqrt[3]{-1} = 3 \cdot (-1) = -3$

Заметим, что последний множитель $(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})$ в развернутой формуле куба суммы — это наше исходное выражение, которое мы обозначили как $x$.

Теперь подставим все упрощенные части обратно в уравнение для $x^3$:

$x^3 = 14 + (-3) \cdot x$

В результате мы получили кубическое уравнение относительно $x$:

$x^3 + 3x - 14 = 0$

Чтобы решить это уравнение, попробуем найти его целочисленные корни. Возможные целые корни являются делителями свободного члена (-14): $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.

Проверим значение $x=2$:

$2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 14 - 14 = 0$

Так как получилось верное равенство, $x=2$ является корнем данного уравнения. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разделим многочлен $x^3 + 3x - 14$ на $(x-2)$:

$(x^3 + 3x - 14) : (x-2) = x^2 + 2x + 7$

Таким образом, наше уравнение можно представить в виде:

$(x-2)(x^2 + 2x + 7) = 0$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:

1. $x-2 = 0 \Rightarrow x=2$
2. $x^2 + 2x + 7 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$. Так как дискриминант отрицательный ($D<0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Поскольку исходное выражение $x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$ является действительным числом, то его значением может быть только действительный корень. Единственный действительный корень нашего кубического уравнения — это $x=2$.

Следовательно, мы доказали, что $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = 2$.

Ответ: Равенство доказано.

545. При проектировании водоснабжения посёлка необходимо рассчитать примерный расход воды $V \text{ (в м}^3\text{)}$ через несколько лет. Каков будет суточный расход воды в посёлке через $m$ лет, если по нормам расход воды на одного жителя в сутки равен $v \text{ м}^3$, число жителей в посёлке при заселении равно $N$, а годичный прирост жителей $p\%$. Произвести расчёт при:

1) $m = 3, v = 0,3, N = 250, p = 8$;

2) $m = 4,5, v = 0,4, N = 346, p = 10$.

Для решения задачи необходимо определить, как изменяется численность населения посёлка с течением времени, а затем умножить это число на норму расхода воды на одного жителя.

Численность жителей в посёлке растёт ежегодно на $p\%$. Это означает, что мы имеем дело со сложными процентами. Формула для расчёта численности населения ($N_m$) через $m$ лет при начальной численности $N$ и ежегодном приросте $p\%$ выглядит следующим образом:

$N_m = N \cdot (1 + \frac{p}{100})^m$

Общий суточный расход воды $V$ через $m$ лет будет равен произведению численности жителей на норму расхода воды $v$ на одного жителя:

$V = N_m \cdot v$

Подставив выражение для $N_m$, получаем итоговую формулу для расчёта:

$V = N \cdot (1 + \frac{p}{100})^m \cdot v$

Теперь произведём расчёт для каждого из предложенных случаев.

1) При $m = 3$ года, $v = 0,3 \text{ м}^3$, $N = 250$ жителей, $p = 8\%$.

Подставляем значения в формулу:

$V = 250 \cdot (1 + \frac{8}{100})^3 \cdot 0,3$

Выполняем вычисления:

$V = 250 \cdot (1 + 0,08)^3 \cdot 0,3$

$V = 250 \cdot (1,08)^3 \cdot 0,3$

$V = 250 \cdot 1,259712 \cdot 0,3$

$V = 314,928 \cdot 0,3$

$V = 94,4784 \text{ м}^3$

Округлим до сотых: $V \approx 94,48 \text{ м}^3$.

Ответ: $94,48 \text{ м}^3$.

2) При $m = 4,5$ года, $v = 0,4 \text{ м}^3$, $N = 346$ жителей, $p = 10\%$.

Подставляем значения в формулу:

$V = 346 \cdot (1 + \frac{10}{100})^{4,5} \cdot 0,4$

Выполняем вычисления:

$V = 346 \cdot (1 + 0,1)^{4,5} \cdot 0,4$

$V = 346 \cdot (1,1)^{4,5} \cdot 0,4$

Вычисляем $(1,1)^{4,5}$:

$(1,1)^{4,5} \approx 1,53569$

Подставляем это значение обратно в формулу:

$V \approx 346 \cdot 1,53569 \cdot 0,4$

$V \approx 531,348 \cdot 0,4$

$V \approx 212,539 \text{ м}^3$

Округлим до сотых: $V \approx 212,54 \text{ м}^3$.

Ответ: $212,54 \text{ м}^3$.