Страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

468. (Устно.) Представить в виде корня из степени с целым показателем:

1) $a^{\frac{1}{4}}$; 2) $b^{\frac{3}{5}}$; 3) $a^{-\frac{5}{6}}$; 4) $b^{-\frac{1}{3}}$; 5) $(2y)^{\frac{1}{3}}$; 6) $(5b)^{-\frac{3}{4}}$.

Для того чтобы представить степень с рациональным показателем в виде корня из степени с целым показателем, используется общее правило:$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$,где $a$ – основание степени, $m$ – показатель степени под корнем (целое число), а $n$ – показатель корня (натуральное число, $n \ge 2$).

1) В выражении $a^{\frac{1}{4}}$ числитель показателя $m=1$, а знаменатель $n=4$. Применяя формулу, получаем корень четвертой степени из $a$ в первой степени.
$a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a^1} = \sqrt[4]{a}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a}$

2) В выражении $b^{\frac{3}{5}}$ числитель показателя $m=3$, а знаменатель $n=5$. По формуле получаем корень пятой степени из $b$ в третьей степени.
$b^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{b^3}$.
Ответ: $\sqrt[5]{b^3}$

3) В выражении $a^{-\frac{5}{6}}$ числитель показателя $m=-5$, а знаменатель $n=6$. Применяя формулу, получаем корень шестой степени из $a$ в степени -5.
$a^{-\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^{-5}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a^{-5}}$

4) В выражении $b^{-\frac{1}{3}}$ числитель показателя $m=-1$, а знаменатель $n=3$. По формуле получаем корень кубический из $b$ в степени -1.
$b^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{b^{-1}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{b^{-1}}$

5) В выражении $(2y)^{\frac{1}{3}}$ основанием является $2y$, числитель показателя $m=1$, а знаменатель $n=3$. Применяя формулу, получаем корень кубический из выражения $(2y)$ в первой степени.
$(2y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(2y)^1} = \sqrt[3]{2y}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2y}$

6) В выражении $(5b)^{-\frac{3}{4}}$ основанием является $5b$, числитель показателя $m=-3$, а знаменатель $n=4$. По формуле получаем корень четвертой степени из выражения $(5b)$ в степени -3.
$(5b)^{-\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(5b)^{-3}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{(5b)^{-3}}$

Вычислить (469—472).

469. 1) $16^{\frac{1}{2}}$; 2) $27^{\frac{2}{3}}$; 3) $8^{\frac{1}{3}}$; 4) $64^{\frac{2}{3}}$; 5) $16^{-0.75}$; 6) $9^{-1.5}$.

1)

Возведение числа в степень $\frac{1}{2}$ эквивалентно извлечению квадратного корня из этого числа.
$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$

Ответ: 4.

2)

Для вычисления выражения $27^{\frac{2}{3}}$ можно использовать свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для этого представим основание 27 в виде степени числа 3: $27 = 3^3$.
$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$
Альтернативный способ — использовать определение дробной степени $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$

Ответ: 9.

3)

Возведение числа в степень $\frac{1}{3}$ эквивалентно извлечению кубического корня из этого числа.
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Ответ: 2.

4)

Представим основание 64 как $4^3$ и воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$64^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}} = 4^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 4^2 = 16$
Также можно представить 64 как $2^6$:
$64^{\frac{2}{3}} = (2^6)^{\frac{2}{3}} = 2^{6 \cdot \frac{2}{3}} = 2^4 = 16$

Ответ: 16.

5)

Сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $-0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$.
Отрицательная степень означает, что нужно взять обратное число: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$16^{-0,75} = 16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}$
Теперь вычислим знаменатель. Представим 16 как $2^4$:
$16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$
Следовательно, исходное выражение равно $\frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

6)

Преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.
Используем правило отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$9^{-1,5} = 9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}}$
Вычислим знаменатель. Представим 9 как $3^2$:
$9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$
Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.

470. 1) $2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{8}{5}}$;

2) $5^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{5}{8}}$;

3) $4^{\frac{5}{6}} : 4^{\frac{1}{3}}$;

4) $9^{\frac{1}{3}} : 9^{\frac{5}{6}}$;

5) $(8^{\frac{1}{15}})^{-5}$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, т.е. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяем это правило к нашему выражению:

$2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{8}{5}} = 2^{\frac{2}{5} + \frac{8}{5}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

2) Аналогично первому примеру, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Складываем показатели степеней:

$5^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{5}{8}} = 5^{\frac{3}{8} + \frac{5}{8}} = 5^{\frac{8}{8}} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

3) Здесь применяется свойство деления степеней с одинаковым основанием: при делении показатели вычитаются, т.е. $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Прежде чем вычитать, приведем дроби в показателях к общему знаменателю, который равен 6: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$.

Теперь выполним вычисление:

$4^{\frac{5}{6}} : 4^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} = 4^{\frac{3}{6}} = 4^{\frac{1}{2}}$.

Используя определение степени с дробным показателем $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$, получаем: $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

4) Используем то же свойство деления степеней, что и в предыдущем примере: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Приведем дроби в показателях к общему знаменателю 6: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$.

Выполняем вычитание показателей:

$9^{\frac{1}{3}} : 9^{\frac{5}{6}} = 9^{\frac{2}{6} - \frac{5}{6}} = 9^{-\frac{3}{6}} = 9^{-\frac{1}{2}}$.

Далее воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и определением степени с дробным показателем $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$:

$9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

5) В этом случае применяется свойство возведения степени в степень: показатели перемножаются, т.е. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Перемножаем показатели:

$(8^{\frac{1}{15}})^{-5} = 8^{\frac{1}{15} \cdot (-5)} = 8^{-\frac{5}{15}} = 8^{-\frac{1}{3}}$.

Используя свойства степени с отрицательным и дробным показателями ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$), получаем конечный результат:

$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

471. 1) $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}}$

2) $7^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{2}{3}}$

3) $144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}}$

4) $150^{\frac{3}{2}} : 6^{\frac{3}{2}}$

1) $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}}$. Поскольку показатели степеней одинаковы, воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Получаем: $(9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}} = 243^{\frac{2}{5}}$. Представим основание 243 как степень числа 3: $243 = 3^5$. Тогда выражение примет вид: $(3^5)^{\frac{2}{5}}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $3^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 3^2 = 9$. Ответ: 9

2) $7^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{2}{3}}$. Используем свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Получаем: $(7 \cdot 49)^{\frac{2}{3}}$. Так как $49 = 7^2$, то $7 \cdot 49 = 7 \cdot 7^2 = 7^3$. Выражение принимает вид: $(7^3)^{\frac{2}{3}}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $7^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 7^2 = 49$. Ответ: 49

3) $144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}}$. Поскольку показатели степеней одинаковы, воспользуемся свойством частного степеней с одинаковыми показателями: $a^n : b^n = (a : b)^n$. Получаем: $(144 : 9)^{\frac{3}{4}}$. Вычислим частное в основании: $144 : 9 = 16$. Выражение принимает вид: $16^{\frac{3}{4}}$. Представим основание 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$. Тогда получаем: $(2^4)^{\frac{3}{4}}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, имеем: $2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$. Ответ: 8

4) $150^{\frac{3}{2}} : 6^{\frac{3}{2}}$. Используем свойство частного степеней с одинаковыми показателями: $a^n : b^n = (a : b)^n$. Получаем: $(150 : 6)^{\frac{3}{2}}$. Вычислим частное в основании: $150 : 6 = 25$. Выражение принимает вид: $25^{\frac{3}{2}}$. Представим основание 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$. Тогда получаем: $(5^2)^{\frac{3}{2}}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, имеем: $5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$. Ответ: 125

472. 1) $\left(\frac{1}{81}\right)^{-0,75} + \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}}$

2) $(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}$

3) $10^7 : 10^{\frac{2}{7}} - 5^{\frac{6}{5}} \cdot 5^{\frac{4}{5}}$

4) $\left(5^{-\frac{2}{5}}\right)^{-5} + (0,2)^{-\frac{3}{4}}$

1) $(\frac{1}{81})^{-0,75} + (\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}}$

Сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $-0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$.

Теперь вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

Первое слагаемое: $(\frac{1}{81})^{-\frac{3}{4}} = (81)^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3$. Так как $3^4=81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$. Следовательно, $(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$.

Второе слагаемое: $(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = (27)^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{27})^4$. Так как $3^3=27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$. Следовательно, $(\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81$.

Суммируем полученные значения: $27 + 81 = 108$.

Ответ: 108

2) $(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}$

Преобразуем десятичные числа и степени в обыкновенные дроби: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$; $-1,5 = -\frac{3}{2}$; $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Выражение принимает вид: $(\frac{1}{25})^{-\frac{3}{2}} - (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$.

Первый член: $(\frac{1}{25})^{-\frac{3}{2}} = (25)^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125$.

Второй член: $(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = (8)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Вычисляем разность: $125 - 4 = 121$.

Ответ: 121

3) $10^{\frac{9}{7}} : 10^{\frac{2}{7}} - 5^{\frac{6}{5}} \cdot 5^{\frac{4}{5}}$

Используем свойства степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Первая часть выражения: $10^{\frac{9}{7}} : 10^{\frac{2}{7}} = 10^{\frac{9}{7} - \frac{2}{7}} = 10^{\frac{7}{7}} = 10^1 = 10$.

Вторая часть выражения: $5^{\frac{6}{5}} \cdot 5^{\frac{4}{5}} = 5^{\frac{6}{5} + \frac{4}{5}} = 5^{\frac{10}{5}} = 5^2 = 25$.

Вычисляем разность: $10 - 25 = -15$.

Ответ: -15

4) $(5^{-\frac{2}{5}})^{-5} + ((0,2)^{\frac{3}{4}})^{-4}$

Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Первое слагаемое: $(5^{-\frac{2}{5}})^{-5} = 5^{(-\frac{2}{5}) \cdot (-5)} = 5^2 = 25$.

Для второго слагаемого сначала преобразуем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Второе слагаемое: $((0,2)^{\frac{3}{4}})^{-4} = ((\frac{1}{5})^{\frac{3}{4}})^{-4} = (\frac{1}{5})^{\frac{3}{4} \cdot (-4)} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$.

Суммируем полученные значения: $25 + 125 = 150$.

Ответ: 150

473. Найти значение выражения:

1) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}$ при $a = 0,16$;

2) $\sqrt{b} : \sqrt[6]{b}$ при $b = 0,027$;

3) $\frac{\sqrt{x} : \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[6]{x}}$ при $x = 1,33$;

4) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^5}$ при $a = 3,75$.

1) Сначала упростим выражение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}$. Для этого представим корни в виде степеней с рациональными показателями: $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$ и $\sqrt[6]{a} = a^{1/6}$. Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), получаем: $a^{1/3} \cdot a^{1/6} = a^{1/3 + 1/6}$. Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 6: $a^{2/6 + 1/6} = a^{3/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}$. Теперь подставим в полученное выражение значение $a = 0,16$: $\sqrt{0,16} = 0,4$.
Ответ: 0,4

2) Упростим выражение $\sqrt{b} : \sqrt[6]{b}$. Представим корни в виде степеней: $\sqrt{b} = b^{1/2}$ и $\sqrt[6]{b} = b^{1/6}$. Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($x^m : x^n = x^{m-n}$), получаем: $b^{1/2} : b^{1/6} = b^{1/2 - 1/6}$. Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 6: $b^{3/6 - 1/6} = b^{2/6} = b^{1/3} = \sqrt[3]{b}$. Теперь подставим значение $b = 0,027$ в упрощенное выражение: $\sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{27/1000} = 3/10 = 0,3$.
Ответ: 0,3

3) Упростим выражение $\frac{\sqrt{x} : \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[6]{x}}$. Запись может быть интерпретирована по-разному. В подобных задачах часто предполагается порядок действий, который приводит к максимальному упрощению. Будем считать, что выражение имеет вид $\sqrt{x} : (\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[6]{x}})$. Представим все корни в виде степеней с рациональными показателями: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$ и $\sqrt[6]{x} = x^{1/6}$. Сначала упростим делитель: $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[6]{x}} = \frac{x^{2/3}}{x^{1/6}} = x^{2/3 - 1/6} = x^{4/6 - 1/6} = x^{3/6} = x^{1/2}$. Теперь все выражение принимает вид: $\sqrt{x} : x^{1/2} = x^{1/2} : x^{1/2} = 1$. Результат равен 1 при любом положительном значении $x$. Таким образом, при $x = 1,33$ значение выражения также равно 1.
Ответ: 1

4) Упростим выражение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^5}$. Представим корни в виде степеней: $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$, $\sqrt[4]{a} = a^{1/4}$ и $\sqrt[12]{a^5} = a^{5/12}$. Выражение примет вид: $a^{1/3} \cdot a^{1/4} \cdot a^{5/12}$. Используя свойство умножения степеней, сложим показатели: $a^{1/3 + 1/4 + 5/12}$. Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 12: $a^{4/12 + 3/12 + 5/12} = a^{(4+3+5)/12} = a^{12/12} = a^1 = a$. Выражение упрощается до $a$. Следовательно, при $a = 3,75$ значение выражения равно 3,75.
Ответ: 3,75

474. Представить в виде степени с рациональным показателем:

1) $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a}$;

2) $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b}$;

3) $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}}$;

4) $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a}$.

1) Чтобы представить выражение $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a}$ в виде степени с рациональным показателем, сначала запишем корень в виде степени: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Теперь выражение имеет вид: $a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Сложим показатели: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$. Таким образом, итоговое выражение равно $a^{\frac{5}{6}}$.
Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$

2) Рассмотрим выражение $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b}$. Представим корень шестой степени в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{6}}$. Выражение примет вид: $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{6}}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Сложим показатели: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$. Общий знаменатель для дробей равен 6. Приведем дроби к нему: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$. В результате получаем $b^1$, что равно $b$.
Ответ: $b$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}}$. Сначала представим кубический корень в виде степени: $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$. Выражение принимает вид: $b^{\frac{1}{3}} : b^{\frac{1}{6}}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются по правилу $x^m : x^n = x^{m-n}$. Вычтем показатели: $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$. В результате получаем $b^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

4) Рассмотрим выражение $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a}$. Представим кубический корень из $a$ в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$. Теперь выражение выглядит так: $a^{\frac{4}{3}} : a^{\frac{1}{3}}$. Используя правило деления степеней с одинаковым основанием, вычтем показатели: $\frac{4}{3} - \frac{1}{3}$. Так как знаменатели у дробей одинаковы, вычитаем числители: $\frac{4-1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Получаем $a^1$, что равно $a$.
Ответ: $a$

475. Вынести общий множитель за скобки:

1) $x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}$;

2) $(ab)^3 + (ac)^{\frac{1}{3}}$;

3) $y^{\frac{3}{4}} - y^{\frac{2}{3}}$;

4) $12xy^{\frac{1}{2}} - 4x^{\frac{1}{2}}y$.

1) Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}$, нужно найти переменную с наименьшим показателем степени. Сравниваем показатели $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$. Наименьший показатель – $\frac{1}{3}$, следовательно, общий множитель – это $x^{\frac{1}{3}}$.
Разделим каждый член выражения на $x^{\frac{1}{3}}$:
$x^{\frac{1}{3}} \div x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} = x^0 = 1$
$x^{\frac{2}{3}} \div x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}}$
Получаем выражение: $x^{\frac{1}{3}}(1 + x^{\frac{1}{3}})$.
Ответ: $x^{\frac{1}{3}}(1 + x^{\frac{1}{3}})$

2) В выражении $(ab)^{\frac{1}{3}} + (ac)^{\frac{1}{3}}$ сначала применим свойство степени произведения $(xy)^n = x^ny^n$ к каждому слагаемому:
$(ab)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$
$(ac)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}}$
Исходное выражение примет вид: $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}}$.
Общим множителем для обоих слагаемых является $a^{\frac{1}{3}}$. Вынесем его за скобки:
$a^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{3}})$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{3}})$

3) В выражении $y^{\frac{3}{4}} - y^{\frac{2}{3}}$ общим множителем будет переменная $y$ в наименьшей степени. Сравним показатели степени $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$
Так как $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, то наименьшая степень – это $\frac{2}{3}$. Общий множитель – $y^{\frac{2}{3}}$.
Вынесем $y^{\frac{2}{3}}$ за скобки, разделив на него каждый член выражения:
$y^{\frac{3}{4}} \div y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}} = y^{\frac{9}{12}-\frac{8}{12}} = y^{\frac{1}{12}}$
$y^{\frac{2}{3}} \div y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}} = y^0 = 1$
Получаем: $y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{12}} - 1)$.
Ответ: $y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{12}} - 1)$

4) В выражении $12xy^{\frac{1}{2}} - 4x^{\frac{1}{2}}y$ найдем общий множитель по частям.
1. Для коэффициентов 12 и 4 наибольший общий делитель (НОД) равен 4.
2. Для переменной $x$ имеем степени 1 и $\frac{1}{2}$. Наименьшая степень – $\frac{1}{2}$, значит, общий множитель для $x$ – это $x^{\frac{1}{2}}$.
3. Для переменной $y$ имеем степени $\frac{1}{2}$ и 1. Наименьшая степень – $\frac{1}{2}$, значит, общий множитель для $y$ – это $y^{\frac{1}{2}}$.
Таким образом, общий множитель всего выражения – $4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$.
Вынесем его за скобки:
$4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \left( \frac{12xy^{\frac{1}{2}}}{4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} - \frac{4x^{\frac{1}{2}}y}{4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} \right) = 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(3x^{1-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}y^{1-\frac{1}{2}}) = 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(3x^{\frac{1}{2}}y^0 - x^0y^{\frac{1}{2}})$.
Так как любое число в нулевой степени равно 1, получаем:
$4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(3x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$.
Ответ: $4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(3x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$

476. Пользуясь тождеством $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$, разложить на множители:

1) $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}};$

2) $y^{\frac{2}{3}} - 1;$

3) $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}};$

4) $x - y;$

5) $4a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}};$

6) $0,01m^{\frac{1}{6}} - n^{\frac{1}{6}}.$

Для решения всех задач воспользуемся тождеством разности квадратов $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$. Для этого необходимо каждый член в заданных выражениях представить в виде квадрата некоторого другого выражения.

1) Чтобы разложить на множители выражение $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$, представим каждый его член в виде квадрата. Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:

$a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4} \cdot 2} = (a^{\frac{1}{4}})^2$

$b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{4} \cdot 2} = (b^{\frac{1}{4}})^2$

Теперь исходное выражение можно записать как разность квадратов:

$a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2$

Применим формулу разности квадратов, где $A = a^{\frac{1}{4}}$ и $B = b^{\frac{1}{4}}$:

$(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})$

Ответ: $(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})$

2) Разложим на множители выражение $y^{\frac{2}{3}} - 1$.

Представим первый член в виде квадрата:

$y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{1}{3} \cdot 2} = (y^{\frac{1}{3}})^2$

Второй член также является квадратом:

$1 = 1^2$

Таким образом, получаем разность квадратов:

$y^{\frac{2}{3}} - 1 = (y^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2$

Применим формулу, где $A = y^{\frac{1}{3}}$ и $B = 1$:

$(y^{\frac{1}{3}} + 1)(y^{\frac{1}{3}} - 1)$

Ответ: $(y^{\frac{1}{3}} + 1)(y^{\frac{1}{3}} - 1)$

3) Разложим на множители выражение $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

Представим каждый член в виде квадрата:

$a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{6} \cdot 2} = (a^{\frac{1}{6}})^2$

$b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{6} \cdot 2} = (b^{\frac{1}{6}})^2$

Выражение принимает вид разности квадратов:

$a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2$

Применим формулу, где $A = a^{\frac{1}{6}}$ и $B = b^{\frac{1}{6}}$:

$(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})$

Ответ: $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})$

4) Разложим на множители выражение $x - y$.

Представим каждую переменную как квадрат ее квадратного корня. Напомним, что $\sqrt{z} = z^{\frac{1}{2}}$.

$x = (x^{\frac{1}{2}})^2$

$y = (y^{\frac{1}{2}})^2$

Выражение принимает вид разности квадратов:

$x - y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2$

Применим формулу разности квадратов:

$(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$

Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$

5) Разложим на множители выражение $4a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$.

Представим каждый член в виде квадрата:

Первый член: $4a^{\frac{1}{2}} = 2^2 \cdot (a^{\frac{1}{4}})^2 = (2a^{\frac{1}{4}})^2$.

Второй член: $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{4}})^2$.

Получаем выражение в виде разности квадратов:

$(2a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2$

Применяем формулу, где $A = 2a^{\frac{1}{4}}$ и $B = b^{\frac{1}{4}}$:

$(2a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(2a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})$

Ответ: $(2a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(2a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})$

6) Разложим на множители выражение $0,01m^{\frac{1}{6}} - n^{\frac{1}{6}}$.

Представим каждый член в виде квадрата:

Первый член: $0,01m^{\frac{1}{6}} = (0,1)^2 \cdot (m^{\frac{1}{12}})^2 = (0,1m^{\frac{1}{12}})^2$.

Второй член: $n^{\frac{1}{6}} = (n^{\frac{1}{12}})^2$.

Выражение принимает вид разности квадратов:

$(0,1m^{\frac{1}{12}})^2 - (n^{\frac{1}{12}})^2$

Применяем формулу, где $A = 0,1m^{\frac{1}{12}}$ и $B = n^{\frac{1}{12}}$:

$(0,1m^{\frac{1}{12}} + n^{\frac{1}{12}})(0,1m^{\frac{1}{12}} - n^{\frac{1}{12}})$

Ответ: $(0,1m^{\frac{1}{12}} + n^{\frac{1}{12}})(0,1m^{\frac{1}{12}} - n^{\frac{1}{12}})$

477. Разложить на множители, используя тождество

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ или $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

1) $a - x$;

2) $x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}};

3) $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}};

4) $27a + c^2$.

Для решения данной задачи необходимо представить каждое выражение в виде суммы или разности кубов и затем применить соответствующую формулу сокращенного умножения:
Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Представим каждый член выражения в виде куба, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:
$a = a^1 = (a^{\frac{1}{3}})^3$
$x = x^1 = (x^{\frac{1}{3}})^3$
Таким образом, выражение $a - x$ можно записать как разность кубов: $(a^{\frac{1}{3}})^3 - (x^{\frac{1}{3}})^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = a^{\frac{1}{3}}$ и $B = x^{\frac{1}{3}}$.
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$a - x = (a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + (x^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}})$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}})$.

Представим каждый член выражения как куб некоторого другого выражения:
$x^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2} \cdot 3}) = (x^{\frac{1}{2}})^3$
$y^{\frac{3}{2}} = (y^{\frac{1}{2} \cdot 3}) = (y^{\frac{1}{2}})^3$
Получаем разность кубов: $(x^{\frac{1}{2}})^3 - (y^{\frac{1}{2}})^3$.
Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = x^{\frac{1}{2}}$ и $B = y^{\frac{1}{2}}$.
Подставляем в формулу:
$x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})((x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2) = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y)$.
Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:
$a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{6} \cdot 3} = (a^{\frac{1}{6}})^3$
$b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{6} \cdot 3} = (b^{\frac{1}{6}})^3$
Выражение принимает вид разности кубов: $(a^{\frac{1}{6}})^3 - (b^{\frac{1}{6}})^3$.
Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = a^{\frac{1}{6}}$ и $B = b^{\frac{1}{6}}$.
Подставив в формулу, получим:
$a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})((a^{\frac{1}{6}})^2 + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + (b^{\frac{1}{6}})^2) = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{2}{6}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{2}{6}}) = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}})$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}})$.

Представим каждый член выражения в виде куба:
$27a = 3^3 \cdot a = (3a^{\frac{1}{3}})^3$
$c^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6} \cdot 3} = (c^{\frac{1}{6}})^3$
Выражение представляет собой сумму кубов: $(3a^{\frac{1}{3}})^3 + (c^{\frac{1}{6}})^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = 3a^{\frac{1}{3}}$ и $B = c^{\frac{1}{6}}$.
Подставляем значения в формулу:
$27a + c^{\frac{1}{2}} = (3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})((3a^{\frac{1}{3}})^2 - (3a^{\frac{1}{3}})(c^{\frac{1}{6}}) + (c^{\frac{1}{6}})^2) = (3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})(9a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{6}} + c^{\frac{2}{6}}) = (3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})(9a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{6}} + c^{\frac{1}{3}})$.
Ответ: $(3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})(9a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{6}} + c^{\frac{1}{3}})$.

478. Сократить дробь:

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}}$;

2) $\frac{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}{m+2\sqrt{mn}+n}$;

3) $\frac{c-2c^{\frac{1}{2}}+1}{\sqrt{c}-1}$;

4) $\frac{x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}}{x-y}$.

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}}$

Для сокращения дроби представим числитель и знаменатель в виде степеней с одинаковым основанием показателя. $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда исходная дробь примет вид: $\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}}$

Числитель можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. В данном случае $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$ и $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{4}})^2$.

Следовательно, числитель равен: $a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})$: $\frac{(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}$

2) $\frac{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}{m+2\sqrt{mn}+n}$

Преобразуем знаменатель дроби, представив его с помощью степеней с дробными показателями: $m+2\sqrt{mn}+n = m+2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}}+n$.

Заметим, что знаменатель является полным квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. В данном случае $m = (m^{\frac{1}{2}})^2$ и $n = (n^{\frac{1}{2}})^2$.

Следовательно, знаменатель равен: $m+2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}}+n = (m^{\frac{1}{2}})^2 + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}})^2$.

Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь и сократим общий множитель $(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}})$: $\frac{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{1}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}$.

Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}$

3) $\frac{c-2c^{\frac{1}{2}}+1}{\sqrt{c}-1}$

Преобразуем знаменатель, записав корень как степень с дробным показателем: $\sqrt{c}-1 = c^{\frac{1}{2}}-1$.

Дробь примет вид: $\frac{c-2c^{\frac{1}{2}}+1}{c^{\frac{1}{2}}-1}$.

Числитель представляет собой полный квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. В данном случае $c = (c^{\frac{1}{2}})^2$ и $1=1^2$.

Следовательно, числитель равен: $c-2c^{\frac{1}{2}}+1 = (c^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot c^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 = (c^{\frac{1}{2}}-1)^2$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $(c^{\frac{1}{2}}-1)$: $\frac{(c^{\frac{1}{2}}-1)^2}{c^{\frac{1}{2}}-1} = c^{\frac{1}{2}}-1$.

Ответ: $c^{\frac{1}{2}}-1$

4) $\frac{x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}}{x-y}$

Рассмотрим числитель. Он представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Пусть $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = y^{\frac{1}{3}}$. Тогда $a^2 = (x^{\frac{1}{3}})^2 = x^{\frac{2}{3}}$, $b^2 = (y^{\frac{1}{3}})^2 = y^{\frac{2}{3}}$ и $2ab = 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$.

Таким образом, числитель можно записать как: $x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})^2$.

Теперь рассмотрим знаменатель. Его можно представить как разность кубов. $x-y = (x^{\frac{1}{3}})^3 - (y^{\frac{1}{3}})^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$: $(x^{\frac{1}{3}})^3 - (y^{\frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})((x^{\frac{1}{3}})^2 + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + (y^{\frac{1}{3}})^2) = (x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}})$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})^2}{(x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}})}$.

Сократим общий множитель $(x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})$: $\frac{x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}}$.

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}}$