Номер 478, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

478. Сократить дробь:

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}}$;

2) $\frac{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}{m+2\sqrt{mn}+n}$;

3) $\frac{c-2c^{\frac{1}{2}}+1}{\sqrt{c}-1}$;

4) $\frac{x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}}{x-y}$.

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}}$

Для сокращения дроби представим числитель и знаменатель в виде степеней с одинаковым основанием показателя. $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда исходная дробь примет вид: $\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}}$

Числитель можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. В данном случае $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$ и $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{4}})^2$.

Следовательно, числитель равен: $a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})$: $\frac{(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}$

2) $\frac{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}{m+2\sqrt{mn}+n}$

Преобразуем знаменатель дроби, представив его с помощью степеней с дробными показателями: $m+2\sqrt{mn}+n = m+2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}}+n$.

Заметим, что знаменатель является полным квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. В данном случае $m = (m^{\frac{1}{2}})^2$ и $n = (n^{\frac{1}{2}})^2$.

Следовательно, знаменатель равен: $m+2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}}+n = (m^{\frac{1}{2}})^2 + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}})^2$.

Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь и сократим общий множитель $(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}})$: $\frac{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{1}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}$.

Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}$

3) $\frac{c-2c^{\frac{1}{2}}+1}{\sqrt{c}-1}$

Преобразуем знаменатель, записав корень как степень с дробным показателем: $\sqrt{c}-1 = c^{\frac{1}{2}}-1$.

Дробь примет вид: $\frac{c-2c^{\frac{1}{2}}+1}{c^{\frac{1}{2}}-1}$.

Числитель представляет собой полный квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. В данном случае $c = (c^{\frac{1}{2}})^2$ и $1=1^2$.

Следовательно, числитель равен: $c-2c^{\frac{1}{2}}+1 = (c^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot c^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 = (c^{\frac{1}{2}}-1)^2$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $(c^{\frac{1}{2}}-1)$: $\frac{(c^{\frac{1}{2}}-1)^2}{c^{\frac{1}{2}}-1} = c^{\frac{1}{2}}-1$.

Ответ: $c^{\frac{1}{2}}-1$

4) $\frac{x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}}{x-y}$

Рассмотрим числитель. Он представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Пусть $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = y^{\frac{1}{3}}$. Тогда $a^2 = (x^{\frac{1}{3}})^2 = x^{\frac{2}{3}}$, $b^2 = (y^{\frac{1}{3}})^2 = y^{\frac{2}{3}}$ и $2ab = 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$.

Таким образом, числитель можно записать как: $x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})^2$.

Теперь рассмотрим знаменатель. Его можно представить как разность кубов. $x-y = (x^{\frac{1}{3}})^3 - (y^{\frac{1}{3}})^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$: $(x^{\frac{1}{3}})^3 - (y^{\frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})((x^{\frac{1}{3}})^2 + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + (y^{\frac{1}{3}})^2) = (x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}})$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})^2}{(x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}})}$.

Сократим общий множитель $(x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}})$: $\frac{x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}}$.

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}}$