Номер 480, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (480–483).

480.

1) $3^{\sqrt{5}} \cdot 3^{-\sqrt{5}}$; 2) $3^{2\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}}$; 3) $(6^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$; 4) $((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}}$.

1) $3^{\sqrt{5}} \cdot 3^{-\sqrt{5}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это свойство степеней записывается в виде формулы $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном случае основание $a = 3$, а показатели степеней $m = \sqrt{5}$ и $n = -\sqrt{5}$.

Применяя правило, получаем:

$3^{\sqrt{5}} \cdot 3^{-\sqrt{5}} = 3^{\sqrt{5} + (-\sqrt{5})} = 3^{\sqrt{5} - \sqrt{5}} = 3^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, то есть $a^0=1$.

Следовательно, $3^0 = 1$.

Ответ: $1$

2) $3^{2\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}}$

Для решения этого примера приведем степени к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$.

Подставим это в выражение:

$9^{\sqrt{2}} = (3^2)^{\sqrt{2}}$

При возведении степени в степень их показатели перемножаются. Это свойство записывается как $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(3^2)^{\sqrt{2}} = 3^{2 \cdot \sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2}}$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$3^{2\sqrt{2}} : 3^{2\sqrt{2}}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя, то есть $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$3^{2\sqrt{2}} : 3^{2\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} = 3^0 = 1$

Ответ: $1$

3) $(6^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$

Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В данном случае основание $a = 6$, показатель $m = \sqrt{3}$, и степень $n = \sqrt{3}$.

$(6^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 6^{(\sqrt{3})^2} = 6^3$

Теперь вычислим значение $6^3$:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

Ответ: $216$

4) $((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}}$

Снова применяем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Основание $a = 0,5$, показатель $m = \sqrt{2}$, степень $n = \sqrt{8}$.

$((0,5)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}} = (0,5)^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}}$

Вычислим произведение показателей:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$

Таким образом, выражение упрощается до $(0,5)^4$.

Представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$ и вычислим результат:

$(0,5)^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$