Номер 483, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

483. 1) $ \frac{8^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 4^{1+\sqrt{5}}} $;

2) $ (2^{2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3}-1}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} $.

1)

Для решения данного примера необходимо привести все степени к одному основанию. В данном случае это основание 2, так как $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

Запишем исходное выражение, подставив вместо 8 и 4 их представления в виде степени двойки:

$\frac{8^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 4^{1+\sqrt{5}}} = \frac{(2^3)^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot (2^2)^{1+\sqrt{5}}}$

Далее воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Преобразуем числитель:

$(2^3)^{3+\sqrt{5}} = 2^{3 \cdot (3+\sqrt{5})} = 2^{9+3\sqrt{5}}$

Преобразуем второй множитель в знаменателе:

$(2^2)^{1+\sqrt{5}} = 2^{2 \cdot (1+\sqrt{5})} = 2^{2+2\sqrt{5}}$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{2^{9+3\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 2^{2+2\sqrt{5}}}$

В знаменателе воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{2+\sqrt{5}} \cdot 2^{2+2\sqrt{5}} = 2^{(2+\sqrt{5}) + (2+2\sqrt{5})} = 2^{4+3\sqrt{5}}$

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{2^{9+3\sqrt{5}}}{2^{4+3\sqrt{5}}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{(9+3\sqrt{5}) - (4+3\sqrt{5})} = 2^{9+3\sqrt{5} - 4 - 3\sqrt{5}} = 2^{5}$

Вычислим результат:

$2^5 = 32$

Ответ: $32$.

2)

Для решения этого примера раскроем скобки, умножив выражение в скобках на $2^{-2\sqrt{3}}$.

$(2^{2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3}-1}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = 2^{2\sqrt{3}} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3}-1} \cdot 2^{-2\sqrt{3}}$

Приведем число 4 к основанию 2: $4 = 2^2$. Тогда $4^{\sqrt{3}-1} = (2^2)^{\sqrt{3}-1}$.

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получим:

$(2^2)^{\sqrt{3}-1} = 2^{2(\sqrt{3}-1)} = 2^{2\sqrt{3}-2}$

Подставим это в наше выражение:

$2^{2\sqrt{3}} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} - 2^{2\sqrt{3}-2} \cdot 2^{-2\sqrt{3}}$

Теперь воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для обоих произведений.

Первое слагаемое:

$2^{2\sqrt{3}} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = 2^{2\sqrt{3} + (-2\sqrt{3})} = 2^{0} = 1$

Второе слагаемое:

$2^{2\sqrt{3}-2} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = 2^{(2\sqrt{3}-2) + (-2\sqrt{3})} = 2^{2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}} = 2^{-2}$

Теперь наше выражение выглядит так:

$1 - 2^{-2}$

Зная, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4}$

Вычисляем разность:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.