Номер 488, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

488. Вычислить:

1) $(\frac{1}{16})^{-0.75} + 810000^{0.25} - \left(7\frac{19}{32}\right)^{\frac{1}{5}};$

2) $(0.001)^{-\frac{1}{3}} - 2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} - 8^{-1\frac{1}{3}};$

3) $27^{\frac{2}{3}} - (-2)^{-2} + \left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}};$

4) $(-0.5)^{-4} - 625^{0.25} - \left(2\frac{1}{4}\right)^{-1\frac{1}{2}}.$

1) Решим выражение $(\frac{1}{16})^{-0,75} + 810000^{0,25} - (7\frac{19}{32})^{\frac{1}{5}}$.
Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.
Первое слагаемое: $(\frac{1}{16})^{-0,75}$. Преобразуем десятичную степень в дробь: $-0,75 = -\frac{3}{4}$.
$(\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^3 = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.
Второе слагаемое: $810000^{0,25}$. Преобразуем степень: $0,25 = \frac{1}{4}$.
$810000^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{810000} = \sqrt[4]{81 \cdot 10000} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 10^4} = \sqrt[4]{(30)^4} = 30$.
Третье слагаемое: $(7\frac{19}{32})^{\frac{1}{5}}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224+19}{32} = \frac{243}{32}$.
$(\frac{243}{32})^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{3}{2}$.
Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$8 + 30 - \frac{3}{2} = 38 - 1,5 = 36,5$.
Ответ: 36,5.

2) Решим выражение $(0,001)^{-\frac{1}{3}} - 2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} - 8^{-1\frac{1}{3}}$.
Вычислим значение каждого члена выражения.
Первый член: $(0,001)^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{1000})^{-\frac{1}{3}} = (1000)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{1000} = 10$.
Второй член: $2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2^2} \cdot (\sqrt[3]{64})^2 = \frac{1}{4} \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$.
Третий член: $8^{-1\frac{1}{3}} = 8^{-\frac{4}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^{-4} = (\sqrt[3]{8})^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Теперь выполним вычитание:
$10 - 4 - \frac{1}{16} = 6 - \frac{1}{16} = 5\frac{15}{16}$.
Ответ: $5\frac{15}{16}$.

3) Решим выражение $27^{\frac{2}{3}} - (-2)^{-2} + (3\frac{3}{8})^{-\frac{1}{3}}$.
Вычислим значение каждого члена выражения.
Первый член: $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.
Второй член: $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Третий член: $(3\frac{3}{8})^{-\frac{1}{3}}$. Преобразуем смешанное число: $3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}$.
$(\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.
Теперь выполним действия:
$9 - \frac{1}{4} + \frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12.
$9 - \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = 9 + \frac{5}{12} = 9\frac{5}{12}$.
Ответ: $9\frac{5}{12}$.

4) Решим выражение $(-0,5)^{-4} - 625^{0,25} - (2\frac{1}{4})^{-1\frac{1}{2}}$.
Вычислим значение каждого члена выражения.
Первый член: $(-0,5)^{-4} = (-\frac{1}{2})^{-4} = (-2)^4 = 16$.
Второй член: $625^{0,25} = 625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$.
Третий член: $(2\frac{1}{4})^{-1\frac{1}{2}}$. Преобразуем основание и показатель степени.
$2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$; $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
$(\frac{9}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{9})^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{\frac{4}{9}})^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$.
Теперь выполним вычитание:
$16 - 5 - \frac{8}{27} = 11 - \frac{8}{27} = 10\frac{27-8}{27} = 10\frac{19}{27}$.
Ответ: $10\frac{19}{27}$.