Номер 484, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

484. Выяснить, какое из чисел больше:

1) $5^{\sqrt{71}}$ или $5^{\sqrt{69}}$;

2) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$ или $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$;

3) $3^{-\sqrt{3}}$ или $3^{-\sqrt{2}}$;

4) $2^{\sqrt{3}}$ или $2^{1,7}$.

1) $5^{\sqrt{71}}$ или $5^{\sqrt{69}}$

Для сравнения двух степеней с одинаковым основанием, большим единицы, нужно сравнить их показатели. Рассмотрим показательную функцию $y = 5^x$. Так как основание степени $a = 5$ больше 1 ($5 > 1$), то эта функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{71}$ и $\sqrt{69}$.
Поскольку подкоренные выражения положительны и $71 > 69$, то и $\sqrt{71} > \sqrt{69}$.

Так как функция $y=5^x$ возрастающая и показатель $\sqrt{71}$ больше показателя $\sqrt{69}$, то и значение первой степени больше значения второй.
Следовательно, $5^{\sqrt{71}} > 5^{\sqrt{69}}$.
Ответ: $5^{\sqrt{71}}$.

2) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$ или $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$

Для сравнения двух степеней с одинаковым основанием, которое меньше единицы, но больше нуля, нужно сравнить их показатели. Рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{1}{2})^x$. Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), то эта функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$.
Поскольку $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.

Так как функция $y=(\frac{1}{2})^x$ убывающая и показатель $\sqrt{3}$ больше показателя $\sqrt{2}$, то значение первой степени будет меньше значения второй.
Следовательно, $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.

3) $3^{-\sqrt{3}}$ или $3^{-\sqrt{2}}$

Рассмотрим показательную функцию $y = 3^x$. Так как основание степени $a = 3$ больше 1 ($3 > 1$), то эта функция является возрастающей. Большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Сравним показатели степеней: $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{2}$.
Сначала сравним положительные значения: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$. Поскольку $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.
При умножении неравенства на отрицательное число (-1) знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$.

Так как функция $y=3^x$ возрастающая и показатель $-\sqrt{3}$ меньше показателя $-\sqrt{2}$, то и значение первой степени меньше значения второй.
Следовательно, $3^{-\sqrt{3}} < 3^{-\sqrt{2}}$.
Ответ: $3^{-\sqrt{2}}$.

4) $2^{\sqrt{3}}$ или $2^{1,7}$

Рассмотрим показательную функцию $y = 2^x$. Так как основание степени $a = 2$ больше 1 ($2 > 1$), то эта функция является возрастающей. Большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $1,7$.
Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты.
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
$(1,7)^2 = 1,7 \times 1,7 = 2,89$.
Поскольку $3 > 2,89$, то и $\sqrt{3} > 1,7$.

Так как функция $y=2^x$ возрастающая и показатель $\sqrt{3}$ больше показателя $1,7$, то и значение первой степени больше значения второй.
Следовательно, $2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7}$.
Ответ: $2^{\sqrt{3}}$.