Номер 490, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

490. 1) $\frac{a^{\frac{5}{4}}\left(a^{-\frac{1}{4}}+a^{\frac{3}{4}}\right)}{a^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}\right)};$

2) $\frac{m^{\frac{1}{5}}\left(\sqrt[5]{m^{4}}-\sqrt[5]{m^{-1}}\right)}{m^{\frac{2}{3}}\left(\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{m^{-2}}\right)};$

3) $\frac{a^{\frac{5}{3}} b^{-\frac{4}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{5}{3}}};$

4) $\frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}.$

1)

Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Числитель:
$a^{\frac{5}{4}}(a^{-\frac{1}{4}} + a^{\frac{3}{4}}) = a^{\frac{5}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} + a^{\frac{5}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} + a^{\frac{5}{4} + \frac{3}{4}} = a^{\frac{4}{4}} + a^{\frac{8}{4}} = a^1 + a^2 = a + a^2$.

Знаменатель:
$a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{3}} + a^0 = a^1 + 1 = a + 1$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{a + a^2}{a + 1} = \frac{a(1 + a)}{a + 1} = a$.

Ответ: $a$

2)

Сначала преобразуем корни в степени с дробными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

Исходное выражение: $\frac{m^{\frac{1}{5}}(\sqrt[5]{m^4} - \sqrt[5]{m^{-1}})}{m^{\frac{2}{3}}(\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{m^{-2}})} = \frac{m^{\frac{1}{5}}(m^{\frac{4}{5}} - m^{-\frac{1}{5}})}{m^{\frac{2}{3}}(m^{\frac{1}{3}} - m^{-\frac{2}{3}})}$.

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель:
$m^{\frac{1}{5}}(m^{\frac{4}{5}} - m^{-\frac{1}{5}}) = m^{\frac{1}{5}} \cdot m^{\frac{4}{5}} - m^{\frac{1}{5}} \cdot m^{-\frac{1}{5}} = m^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} - m^{\frac{1}{5} - \frac{1}{5}} = m^{\frac{5}{5}} - m^0 = m - 1$.

Знаменатель:
$m^{\frac{2}{3}}(m^{\frac{1}{3}} - m^{-\frac{2}{3}}) = m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{\frac{1}{3}} - m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{2}{3}} = m^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - m^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} = m^{\frac{3}{3}} - m^0 = m - 1$.

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{m - 1}{m - 1} = 1$.

Ответ: $1$

3)

В условии этого примера, вероятно, допущена опечатка. Второй член в числителе $a^{-\frac{1}{3}}$, скорее всего, должен быть $a^{\frac{1}{3}}$, так как в подобных заданиях обычно предполагается значительное упрощение выражения. Решим задачу с исправленным условием.

Исправленное выражение: $\frac{a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{4}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{5}{3}}}$.

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

Числитель: вынесем за скобки $a^{\frac{1}{3}}$.
$a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{4}{3}} - a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}}b^{-\frac{4}{3}} - 1) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}}b^{-\frac{4}{3}} - 1) = a^{\frac{1}{3}}(\frac{a^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}} - 1) = a^{\frac{1}{3}} \frac{a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}$.

Знаменатель: вынесем за скобки $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$.
$a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{5}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}} - b^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}})$.

Разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$\frac{a^{\frac{1}{3}} \frac{a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}})}{b^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}})}$.

Сократим одинаковые множители $a^{\frac{1}{3}}$ и $(a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}})$:
$\frac{1}{b^{\frac{4}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{b^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}} = \frac{1}{b^{\frac{5}{3}}} = b^{-\frac{5}{3}}$.

Ответ: $b^{-\frac{5}{3}}$

4)

Перепишем выражение, используя степени с дробными показателями: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$.
$\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдем наименьшие степени для $a$ и $b$.
Степени $a$: $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$. Наименьшая степень $a^{\frac{1}{3}}$.
Степени $b$: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Наименьшая степень $b^{\frac{1}{3}}$.
Выносим за скобки $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$:
$a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{3-2}{6}} + a^{\frac{3-2}{6}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}})$.

Подставим полученное выражение в дробь и сократим:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$.

Выражение также можно записать как $(ab)^{\frac{1}{3}}$ или $\sqrt[3]{ab}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$