Номер 496, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

496. Упростить выражение:

1) $ (2a^{-0.5} - \frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}})(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}} + 2a^{-0.5}) $;

2) $ (m^{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}})^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}} $;

3) $ (a^{\frac{3}{\sqrt{2}} + \sqrt[3]{3}})^{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} $;

4) $ (a^{\sqrt[3]{9}} + \sqrt[3]{3} + 1)^{1-\sqrt[3]{3}} $.

1) Данное выражение можно преобразовать, заметив, что оно представляет собой произведение разности и суммы одних и тех же членов. Это формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.
В нашем случае, $x = 2a^{-0.5}$ и $y = \frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}}$. Выражение имеет вид:
$(2a^{-0.5} - \frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}})(2a^{-0.5} + \frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}}) = (2a^{-0.5})^2 - (\frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}})^2$
Теперь возведем каждый член в квадрат:
$(2a^{-0.5})^2 = 2^2 \cdot a^{-0.5 \cdot 2} = 4a^{-1}$
$(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}})^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot b^{-\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{2}}$
Таким образом, итоговое выражение:
$4a^{-1} - \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{2}}$
Ответ: $4a^{-1} - \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{2}}$

2) Сначала упростим показатель степени в первом множителе, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} = \frac{(1-\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \frac{(1-\sqrt{5})^2}{1^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{1-2\sqrt{5}+5}{1-5} = \frac{6-2\sqrt{5}}{-4} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{-4} = \frac{3-\sqrt{5}}{-2} = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(m^{\frac{\sqrt{5}-3}{2}})^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$
Используя свойство $(x^a)^b=x^{ab}$, преобразуем первый множитель:
$m^{(\frac{\sqrt{5}-3}{2}) \cdot (-3)} = m^{\frac{-3\sqrt{5}+9}{2}}$
Теперь, используя свойство $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$, перемножим степени:
$m^{\frac{9-3\sqrt{5}}{2}} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9-3\sqrt{5}}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9}{2}}$
Ответ: $m^{\frac{9}{2}}$

3) Вероятно, в условии задачи опечатка. Второй множитель $(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})$ является неполным квадратом суммы чисел $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{3}$. Предположим, что первый множитель должен быть $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})$, а не $(a^{\dots} + \sqrt[3]{3})$.
При таком предположении выражение принимает вид:
$(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})$
Это соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.
Здесь $x=\sqrt[3]{2}$ и $y=\sqrt[3]{3}$.
Второй множитель: $x^2-xy+y^2 = (\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}$, что совпадает с условием.
Следовательно, результат равен:
$x^3+y^3 = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{3})^3 = 2+3=5$
Ответ: $5$

4) Вероятно, в условии задачи опечатка, и основание со степенью перепутаны местами, так как выражение в текущем виде не упрощается стандартными методами. Более логичной выглядит форма $(a^{\sqrt[3]{3}-1})^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}$.
В этом случае мы используем свойство степени $(x^m)^n=x^{mn}$, где показатели степеней перемножаются:
$(\sqrt[3]{3}-1)(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)$
Это произведение соответствует формуле разности кубов: $(u-v)(u^2+uv+v^2)=u^3-v^3$.
Здесь $u=\sqrt[3]{3}$ и $v=1$.
Второй множитель: $u^2+uv+v^2 = (\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3}\cdot1 + 1^2 = \sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1$, что совпадает с показателем степени в предполагаемой форме.
Произведение показателей равно:
$u^3-v^3 = (\sqrt[3]{3})^3 - 1^3 = 3-1=2$
Таким образом, исходное выражение (с учетом исправленной опечатки) равно $a^2$.
Ответ: $a^2$