Номер 498, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

498. 1) $7^{x\sqrt{3}} = \sqrt{7}$;

2) $25^{x\sqrt{2}} = 5\sqrt{5}$;

3) $(\sqrt{2})^x = 2\sqrt{2}$;

4) $(\sqrt{3})^{3x} = 3\sqrt{3}$.

1) Дано показательное уравнение $7^{x\sqrt{3}} = \sqrt{7}$. Для его решения приведем обе части к одному основанию — числу 7. Правую часть уравнения можно представить в виде степени: $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$. Подставим это в исходное уравнение: $7^{x\sqrt{3}} = 7^{\frac{1}{2}}$. Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $x\sqrt{3} = \frac{1}{2}$. Теперь найдем $x$, разделив обе части на $\sqrt{3}$: $x = \frac{1}{2\sqrt{3}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $x = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

2) Дано уравнение $25^{x\sqrt{2}} = 5\sqrt{5}$. Приведем обе части уравнения к основанию 5. Преобразуем левую часть: $25 = 5^2$, следовательно, $25^{x\sqrt{2}} = (5^2)^{x\sqrt{2}} = 5^{2x\sqrt{2}}$. Преобразуем правую часть: $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$. Получаем уравнение: $5^{2x\sqrt{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$. Приравниваем показатели степеней: $2x\sqrt{2} = \frac{3}{2}$. Выразим $x$: $x = \frac{3}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $x = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{8}$.

3) Дано уравнение $(\sqrt{2})^x = 2\sqrt{2}$. Приведем обе части к основанию $\sqrt{2}$. Левая часть уже имеет нужное основание: $(\sqrt{2})^x$. Правую часть представим через основание $\sqrt{2}$. Так как $2 = (\sqrt{2})^2$, получаем: $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$. Уравнение принимает вид: $(\sqrt{2})^x = (\sqrt{2})^3$. Приравниваем показатели степеней: $x = 3$.
Ответ: $3$.

4) Дано уравнение $(\sqrt{3})^{3x} = 3\sqrt{3}$. Приведем обе части к основанию $\sqrt{3}$. Левая часть: $(\sqrt{3})^{3x}$. Правая часть: $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$. Получаем уравнение: $(\sqrt{3})^{3x} = (\sqrt{3})^3$. Приравниваем показатели степеней: $3x = 3$. Находим $x$: $x = \frac{3}{3} = 1$.
Ответ: $1$.