Номер 505, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

505. Найти значение выражения $ \left(\frac{(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}}+(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}}-(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}}\right)^{-2} $, если $x = a \left(\frac{m^2+n^2}{2mn}\right)^{\frac{1}{2}}$ и $n > m > 0$.

Для решения задачи сначала упростим выражения $x^2+a^2$ и $x^2-a^2$, подставив в них данное значение $x$.

Дано: $x = a \left( \frac{m^2+n^2}{2mn} \right)^{\frac{1}{2}}$, где $n > m > 0$.

Возведем $x$ в квадрат: $x^2 = \left( a \left( \frac{m^2+n^2}{2mn} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^2 = a^2 \frac{m^2+n^2}{2mn}$.

Теперь найдем $x^2+a^2$: $x^2+a^2 = a^2 \frac{m^2+n^2}{2mn} + a^2 = a^2 \left( \frac{m^2+n^2}{2mn} + 1 \right) = a^2 \left( \frac{m^2+n^2+2mn}{2mn} \right) = a^2 \frac{(m+n)^2}{2mn}$.

И найдем $x^2-a^2$: $x^2-a^2 = a^2 \frac{m^2+n^2}{2mn} - a^2 = a^2 \left( \frac{m^2+n^2}{2mn} - 1 \right) = a^2 \left( \frac{m^2+n^2-2mn}{2mn} \right) = a^2 \frac{(m-n)^2}{2mn} = a^2 \frac{(n-m)^2}{2mn}$. Поскольку $n > m > 0$, выражение $x^2-a^2$ положительно, и все последующие операции с корнями корректны.

Обозначим исходное выражение как $E$: $E = \left( \frac{(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}} + (x^2-a^2)^{-\frac{1}{2}}}{(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}} - (x^2-a^2)^{-\frac{1}{2}}} \right)^{-2}$.

Теперь вычислим значения степеней, входящих в выражение $E$.

$(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}} = \left( a^2 \frac{(m+n)^2}{2mn} \right)^{-\frac{1}{2}} = (a^2)^{-\frac{1}{2}} \left( \frac{(m+n)^2}{2mn} \right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a} \sqrt{\frac{2mn}{(m+n)^2}}$. Так как $n > m > 0$, то $m+n > 0$, следовательно $\sqrt{(m+n)^2} = m+n$. Получаем: $(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{m+n}$.

$(x^2-a^2)^{-\frac{1}{2}} = \left( a^2 \frac{(n-m)^2}{2mn} \right)^{-\frac{1}{2}} = (a^2)^{-\frac{1}{2}} \left( \frac{(n-m)^2}{2mn} \right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a} \sqrt{\frac{2mn}{(n-m)^2}}$. Так как $n > m$, то $n-m > 0$, следовательно $\sqrt{(n-m)^2} = n-m$. Получаем: $(x^2-a^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{n-m}$.

Подставим эти результаты в выражение $E$: $E = \left( \frac{\frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{m+n} + \frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{n-m}}{\frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{m+n} - \frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{n-m}} \right)^{-2}$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{a}\sqrt{2mn}$ за скобки в числителе и знаменателе дроби и сократим его: $E = \left( \frac{\frac{1}{m+n} + \frac{1}{n-m}}{\frac{1}{m+n} - \frac{1}{n-m}} \right)^{-2}$.

Упростим числитель и знаменатель дроби в скобках, приведя их к общему знаменателю $(m+n)(n-m) = n^2-m^2$: Числитель: $\frac{1}{m+n} + \frac{1}{n-m} = \frac{(n-m) + (m+n)}{(m+n)(n-m)} = \frac{2n}{n^2-m^2}$. Знаменатель: $\frac{1}{m+n} - \frac{1}{n-m} = \frac{(n-m) - (m+n)}{(m+n)(n-m)} = \frac{n-m-m-n}{n^2-m^2} = \frac{-2m}{n^2-m^2}$.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение для $E$: $E = \left( \frac{\frac{2n}{n^2-m^2}}{\frac{-2m}{n^2-m^2}} \right)^{-2} = \left( \frac{2n}{-2m} \right)^{-2} = \left( -\frac{n}{m} \right)^{-2}$.

Используя свойство степени $(a/b)^{-k} = (b/a)^k$, получаем окончательный результат: $E = \left( -\frac{m}{n} \right)^{2} = \frac{(-m)^2}{n^2} = \frac{m^2}{n^2}$.

Ответ: $\frac{m^2}{n^2}$.