Страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

496. Упростить выражение:

1) $ (2a^{-0.5} - \frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}})(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}} + 2a^{-0.5}) $;

2) $ (m^{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}})^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}} $;

3) $ (a^{\frac{3}{\sqrt{2}} + \sqrt[3]{3}})^{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} $;

4) $ (a^{\sqrt[3]{9}} + \sqrt[3]{3} + 1)^{1-\sqrt[3]{3}} $.

1) Данное выражение можно преобразовать, заметив, что оно представляет собой произведение разности и суммы одних и тех же членов. Это формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.
В нашем случае, $x = 2a^{-0.5}$ и $y = \frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}}$. Выражение имеет вид:
$(2a^{-0.5} - \frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}})(2a^{-0.5} + \frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}}) = (2a^{-0.5})^2 - (\frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}})^2$
Теперь возведем каждый член в квадрат:
$(2a^{-0.5})^2 = 2^2 \cdot a^{-0.5 \cdot 2} = 4a^{-1}$
$(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{2}})^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot b^{-\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{2}}$
Таким образом, итоговое выражение:
$4a^{-1} - \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{2}}$
Ответ: $4a^{-1} - \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{2}}$

2) Сначала упростим показатель степени в первом множителе, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} = \frac{(1-\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \frac{(1-\sqrt{5})^2}{1^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{1-2\sqrt{5}+5}{1-5} = \frac{6-2\sqrt{5}}{-4} = \frac{2(3-\sqrt{5})}{-4} = \frac{3-\sqrt{5}}{-2} = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(m^{\frac{\sqrt{5}-3}{2}})^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$
Используя свойство $(x^a)^b=x^{ab}$, преобразуем первый множитель:
$m^{(\frac{\sqrt{5}-3}{2}) \cdot (-3)} = m^{\frac{-3\sqrt{5}+9}{2}}$
Теперь, используя свойство $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$, перемножим степени:
$m^{\frac{9-3\sqrt{5}}{2}} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9-3\sqrt{5}}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9}{2}}$
Ответ: $m^{\frac{9}{2}}$

3) Вероятно, в условии задачи опечатка. Второй множитель $(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})$ является неполным квадратом суммы чисел $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{3}$. Предположим, что первый множитель должен быть $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})$, а не $(a^{\dots} + \sqrt[3]{3})$.
При таком предположении выражение принимает вид:
$(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})$
Это соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.
Здесь $x=\sqrt[3]{2}$ и $y=\sqrt[3]{3}$.
Второй множитель: $x^2-xy+y^2 = (\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}$, что совпадает с условием.
Следовательно, результат равен:
$x^3+y^3 = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{3})^3 = 2+3=5$
Ответ: $5$

4) Вероятно, в условии задачи опечатка, и основание со степенью перепутаны местами, так как выражение в текущем виде не упрощается стандартными методами. Более логичной выглядит форма $(a^{\sqrt[3]{3}-1})^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}$.
В этом случае мы используем свойство степени $(x^m)^n=x^{mn}$, где показатели степеней перемножаются:
$(\sqrt[3]{3}-1)(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)$
Это произведение соответствует формуле разности кубов: $(u-v)(u^2+uv+v^2)=u^3-v^3$.
Здесь $u=\sqrt[3]{3}$ и $v=1$.
Второй множитель: $u^2+uv+v^2 = (\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3}\cdot1 + 1^2 = \sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1$, что совпадает с показателем степени в предполагаемой форме.
Произведение показателей равно:
$u^3-v^3 = (\sqrt[3]{3})^3 - 1^3 = 3-1=2$
Таким образом, исходное выражение (с учетом исправленной опечатки) равно $a^2$.
Ответ: $a^2$

Решить уравнение (497–498).

497.

1) $6^{3x} = 6^4$;

2) $(\frac{2}{3})^{2x} = (\frac{2}{3})^{-3}$;

3) $9^x = 3^{2\sqrt{2}}$;

4) $32^x = 2^{10}$.

1) Дано показательное уравнение $6^{3x} = 6^4$.

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения одинаковы и равны 6, мы можем приравнять их показатели. Это следует из свойства показательной функции $y=a^x$, которая является монотонной, а значит, каждое своё значение принимает только один раз.

$3x = 4$

Чтобы найти $x$, разделим обе части полученного линейного уравнения на 3:

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

2) Дано уравнение $(\frac{2}{3})^{2x} = (\frac{2}{3})^{-3}$.

Основания степеней в обеих частях уравнения равны $\frac{2}{3}$. Следовательно, мы можем приравнять показатели степеней:

$2x = -3$

Решим это линейное уравнение, разделив обе части на 2:

$x = -\frac{3}{2}$ или $x = -1.5$

Ответ: $x = -1.5$.

3) Дано уравнение $9^x = 3^{2\sqrt{2}}$.

Для решения этого уравнения необходимо привести обе части к одному основанию. Заметим, что основание в левой части, $9$, можно представить как степень числа $3$, которое является основанием в правой части: $9 = 3^2$.

Подставим это выражение в левую часть уравнения:

$(3^2)^x = 3^{2\sqrt{2}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем левую часть:

$3^{2x} = 3^{2\sqrt{2}}$

Теперь, когда основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x = 2\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \sqrt{2}$

Ответ: $x = \sqrt{2}$.

4) Дано уравнение $32^x = 2^{10}$.

Приведем левую часть уравнения к основанию 2. Число $32$ является пятой степенью числа $2$, то есть $32 = 2^5$.

Подставим это в уравнение:

$(2^5)^x = 2^{10}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ для левой части:

$2^{5x} = 2^{10}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$5x = 10$

Находим $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

498. 1) $7^{x\sqrt{3}} = \sqrt{7}$;

2) $25^{x\sqrt{2}} = 5\sqrt{5}$;

3) $(\sqrt{2})^x = 2\sqrt{2}$;

4) $(\sqrt{3})^{3x} = 3\sqrt{3}$.

1) Дано показательное уравнение $7^{x\sqrt{3}} = \sqrt{7}$. Для его решения приведем обе части к одному основанию — числу 7. Правую часть уравнения можно представить в виде степени: $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$. Подставим это в исходное уравнение: $7^{x\sqrt{3}} = 7^{\frac{1}{2}}$. Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $x\sqrt{3} = \frac{1}{2}$. Теперь найдем $x$, разделив обе части на $\sqrt{3}$: $x = \frac{1}{2\sqrt{3}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $x = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

2) Дано уравнение $25^{x\sqrt{2}} = 5\sqrt{5}$. Приведем обе части уравнения к основанию 5. Преобразуем левую часть: $25 = 5^2$, следовательно, $25^{x\sqrt{2}} = (5^2)^{x\sqrt{2}} = 5^{2x\sqrt{2}}$. Преобразуем правую часть: $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$. Получаем уравнение: $5^{2x\sqrt{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$. Приравниваем показатели степеней: $2x\sqrt{2} = \frac{3}{2}$. Выразим $x$: $x = \frac{3}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $x = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{8}$.

3) Дано уравнение $(\sqrt{2})^x = 2\sqrt{2}$. Приведем обе части к основанию $\sqrt{2}$. Левая часть уже имеет нужное основание: $(\sqrt{2})^x$. Правую часть представим через основание $\sqrt{2}$. Так как $2 = (\sqrt{2})^2$, получаем: $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$. Уравнение принимает вид: $(\sqrt{2})^x = (\sqrt{2})^3$. Приравниваем показатели степеней: $x = 3$.
Ответ: $3$.

4) Дано уравнение $(\sqrt{3})^{3x} = 3\sqrt{3}$. Приведем обе части к основанию $\sqrt{3}$. Левая часть: $(\sqrt{3})^{3x}$. Правая часть: $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$. Получаем уравнение: $(\sqrt{3})^{3x} = (\sqrt{3})^3$. Приравниваем показатели степеней: $3x = 3$. Находим $x$: $x = \frac{3}{3} = 1$.
Ответ: $1$.

499. Сравнить числа:

1) $ \sqrt[3]{10} $ и $ \sqrt[5]{20} $;

2) $ \sqrt[3]{5} $ и $ \sqrt[4]{7} $;

3) $ \sqrt{17} $ и $ \sqrt[3]{28} $;

4) $ \sqrt[4]{13} $ и $ \sqrt[5]{23} $.

1) Чтобы сравнить числа с разными показателями корня, например $\sqrt[3]{10}$ и $\sqrt[5]{20}$, нужно привести их к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 3 и 5 равно 15.
Приведем каждый корень к показателю 15:
$\sqrt[3]{10} = \sqrt[3 \cdot 5]{10^5} = \sqrt[15]{100000}$
$\sqrt[5]{20} = \sqrt[5 \cdot 3]{20^3} = \sqrt[15]{8000}$
Теперь сравним подкоренные выражения. Так как $100000 > 8000$, то и $\sqrt[15]{100000} > \sqrt[15]{8000}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{10} > \sqrt[5]{20}$.
Ответ: $\sqrt[3]{10} > \sqrt[5]{20}$.

2) Сравним числа $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt[4]{7}$.
Общий показатель корня — это НОК(3, 4) = 12.
Приведем корни к показателю 12:
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}$
$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$
Сравниваем подкоренные выражения: $625 > 343$.
Отсюда следует, что $\sqrt[12]{625} > \sqrt[12]{343}$, а значит $\sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{7}$.

3) Сравним числа $\sqrt{17}$ и $\sqrt[3]{28}$. У числа $\sqrt{17}$ показатель корня равен 2.
Общий показатель корня — это НОК(2, 3) = 6.
Приведем корни к показателю 6:
$\sqrt{17} = \sqrt[2 \cdot 3]{17^3} = \sqrt[6]{4913}$
$\sqrt[3]{28} = \sqrt[3 \cdot 2]{28^2} = \sqrt[6]{784}$
Сравниваем подкоренные выражения: $4913 > 784$.
Таким образом, $\sqrt[6]{4913} > \sqrt[6]{784}$, то есть $\sqrt{17} > \sqrt[3]{28}$.
Ответ: $\sqrt{17} > \sqrt[3]{28}$.

4) Сравним числа $\sqrt[4]{13}$ и $\sqrt[5]{23}$.
Общий показатель корня — это НОК(4, 5) = 20.
Приведем корни к показателю 20:
$\sqrt[4]{13} = \sqrt[20]{13^5}$
$\sqrt[5]{23} = \sqrt[20]{23^4}$
Теперь необходимо сравнить подкоренные выражения: $13^5$ и $23^4$.
Вычислим их значения:
$13^5 = 13 \cdot (13^2)^2 = 13 \cdot 169^2 = 13 \cdot 28561 = 371293$
$23^4 = (23^2)^2 = 529^2 = 279841$
Так как $371293 > 279841$, то $13^5 > 23^4$.
Следовательно, $\sqrt[20]{13^5} > \sqrt[20]{23^4}$, а значит $\sqrt[4]{13} > \sqrt[5]{23}$.
Ответ: $\sqrt[4]{13} > \sqrt[5]{23}$.

Упростить выражение (500—501).

500. 1) $ \frac{a^{\frac{5}{3}}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} - \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a}} - \frac{2a^2}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}} $;

2) $ \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac{2}{3}}} $.

1)

Запишем исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{5}{3}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} - \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a}} - \frac{2a^2}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} $

Для удобства преобразуем все члены выражения, используя степенные показатели вместо корней: $ \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}, \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}, \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}, \sqrt[3]{b^2} = b^{\frac{2}{3}} $.

Выражение примет вид: $ \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}} - \frac{2a^2}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} $

Упростим вторую дробь, изменив знак в знаменателе: $ - \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}} = - \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{-(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} = \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

Знаменатель третьей дроби разложим по формуле разности квадратов: $ a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $

Теперь все выражение можно записать так: $ \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} + \frac{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - \frac{2a^2}{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $: $ \frac{a^{\frac{5}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) + a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) - 2a^2}{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})} $

Раскроем скобки в числителе: $ a^{\frac{5}{3}}a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - 2a^2 $ $ = a^{\frac{6}{3}} - a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}} - 2a^2 $

Приведем подобные слагаемые в числителе: $ a^2 + a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}} - 2a^2 = a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}} - a^2 $

Вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{4}{3}} $, учитывая, что $ a^2 = a^{\frac{6}{3}} = a^{\frac{4}{3}}a^{\frac{2}{3}} $: $ a^{\frac{4}{3}}(b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}}) $

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $ \frac{a^{\frac{4}{3}}(b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{4}{3}} \cdot (-1) \cdot (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} $

Сократим дробь на $ (a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}) $, получив: $ -a^{\frac{4}{3}} $

Ответ: $ -a^{\frac{4}{3}} $.

2)

Запишем исходное выражение: $ \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}} $

Перейдем к степенным показателям для удобства вычислений: $ \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} $

Рассмотрим вторую дробь. Ее числитель можно разложить по формуле разности кубов: $ a - b = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) $

Подставим это разложение в числитель второй дроби и сократим ее: $ \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} $

Теперь исходное выражение принимает вид: $ \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $

Приведем к общему знаменателю $ a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} $: $ \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $: $ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $

Подставим полученное выражение в числитель и упростим его: $ a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - (a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) = a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $

Таким образом, все выражение равно: $ \frac{2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

Ответ: $ \frac{2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $.

501. 1) $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$;

2) $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}$;

3) $\frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a-b} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$;

4) $\frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a+b} + \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$.

1) $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}$

Для упрощения данного выражения удобно использовать замену переменных. Введем обозначения: $x = \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$. Из этих обозначений следует, что $a = x^3$ и $b = y^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{x^3-y^3}{x-y} - \frac{x^3+y^3}{x+y}$

Теперь воспользуемся формулами сокращенного умножения для разности и суммы кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ и $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y} - \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x+y}$

Сокращаем одинаковые множители в числителях и знаменателях дробей:

$(x^2+xy+y^2) - (x^2-xy+y^2)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x^2+xy+y^2 - x^2+xy-y^2 = 2xy$

Выполним обратную замену, подставив вместо $x$ и $y$ их первоначальные значения:

$2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} = 2(ab)^{\frac{1}{3}} = 2\sqrt[3]{ab}$

Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$

2) $\frac{a+b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} - \frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}$

Для начала, приведем выражение к единому виду степеней, заменив $\sqrt[3]{ab}$ на $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$. Затем введем замену: пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$. Тогда $a=x^3, b=y^3, a^{\frac{2}{3}}=x^2, b^{\frac{2}{3}}=y^2$.

Выражение после подстановки будет выглядеть так:

$\frac{x^3+y^3}{x^2-xy+y^2} - \frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}$

Знаменатели дробей представляют собой неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы соответственно. Они являются частями формул суммы и разности кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ и $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Подставим эти разложения в числители:

$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2-xy+y^2} - \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}$

Сократив дроби, получим простое выражение:

$(x+y) - (x-y) = x+y-x+y = 2y$

Теперь сделаем обратную замену, подставив $y = b^{\frac{1}{3}}$:

$2b^{\frac{1}{3}} = 2\sqrt[3]{b}$

Ответ: $2\sqrt[3]{b}$

3) $\frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a-b} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$

Введем замену переменных: пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$. Следовательно, $a=x^3, b=y^3, a^{\frac{2}{3}}=x^2, b^{\frac{2}{3}}=y^2$.

Подставим новые переменные в исходное выражение:

$\frac{x^2+y^2}{x^3-y^3} - \frac{1}{x-y}$

Разложим знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

$\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} - \frac{1}{x-y}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю $(x-y)(x^2+xy+y^2)$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x^2+xy+y^2)$:

$\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} - \frac{1 \cdot (x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}$

Теперь объединим дроби:

$\frac{(x^2+y^2) - (x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} = \frac{x^2+y^2-x^2-xy-y^2}{x^3-y^3} = \frac{-xy}{x^3-y^3}$

Выполним обратную замену, подставляя $a^{\frac{1}{3}}$ вместо $x$ и $b^{\frac{1}{3}}$ вместо $y$:

$\frac{-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a-b} = \frac{-(ab)^{\frac{1}{3}}}{a-b} = \frac{-\sqrt[3]{ab}}{a-b}$

Ответ: $\frac{-\sqrt[3]{ab}}{a-b}$

4) $\frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a+b} + \frac{1}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$

Введем замену, чтобы упростить выражение: $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$. Тогда $a=x^3, b=y^3, a^{\frac{2}{3}}=x^2, b^{\frac{2}{3}}=y^2$.

После подстановки выражение примет вид:

$\frac{x-y}{x^3+y^3} + \frac{1}{x^2-xy+y^2}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

$\frac{x-y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} + \frac{1}{x^2-xy+y^2}$

Общим знаменателем является $(x+y)(x^2-xy+y^2)$. Домножим вторую дробь на $(x+y)$:

$\frac{x-y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} + \frac{1 \cdot (x+y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(x-y)+(x+y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{x-y+x+y}{x^3+y^3} = \frac{2x}{x^3+y^3}$

Произведем обратную замену, подставив $a^{\frac{1}{3}}$ вместо $x$ и $a+b$ вместо $x^3+y^3$:

$\frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a+b} = \frac{2\sqrt[3]{a}}{a+b}$

Ответ: $\frac{2\sqrt[3]{a}}{a+b}$

502. Найти значение выражения $x^3 + 12x$, если $x = \sqrt[3]{4\sqrt{5} + 4} - \sqrt[3]{4\sqrt{5} - 4}$.

Для решения задачи необходимо найти значение выражения $x^3 + 12x$. Нам дано значение $x$:

$x = \sqrt[3]{4\sqrt{5} + 4} - \sqrt[3]{4\sqrt{5} - 4}$

Чтобы избавиться от кубических корней и получить выражение с $x^3$, возведем обе части данного равенства в куб. Для этого воспользуемся формулой куба разности:

$(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$

В нашем случае, пусть $a = \sqrt[3]{4\sqrt{5} + 4}$ и $b = \sqrt[3]{4\sqrt{5} - 4}$. Тогда исходное равенство можно записать как $x = a - b$.

Возводя в куб, получаем:

$x^3 = (a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$

Поскольку $x = a - b$, мы можем подставить $x$ в правую часть формулы:

$x^3 = a^3 - b^3 - 3abx$

Теперь вычислим значения $a^3$, $b^3$ и произведения $ab$.

1. Вычисляем $a^3$:

$a^3 = (\sqrt[3]{4\sqrt{5} + 4})^3 = 4\sqrt{5} + 4$

2. Вычисляем $b^3$:

$b^3 = (\sqrt[3]{4\sqrt{5} - 4})^3 = 4\sqrt{5} - 4$

3. Вычисляем произведение $ab$:

$ab = \sqrt[3]{4\sqrt{5} + 4} \cdot \sqrt[3]{4\sqrt{5} - 4} = \sqrt[3]{(4\sqrt{5} + 4)(4\sqrt{5} - 4)}$

Выражение под корнем является разностью квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$, где $u = 4\sqrt{5}$ и $v = 4$.

$(4\sqrt{5})^2 - 4^2 = 16 \cdot 5 - 16 = 80 - 16 = 64$

Таким образом, $ab = \sqrt[3]{64} = 4$.

Теперь подставим найденные значения в уравнение для $x^3$:

$x^3 = (a^3 - b^3) - 3(ab)x$

$x^3 = ((4\sqrt{5} + 4) - (4\sqrt{5} - 4)) - 3(4)x$

$x^3 = (4\sqrt{5} + 4 - 4\sqrt{5} + 4) - 12x$

$x^3 = 8 - 12x$

Нам требуется найти значение выражения $x^3 + 12x$. Для этого перенесем $-12x$ из правой части уравнения в левую:

$x^3 + 12x = 8$

Ответ: 8

503. Упростить выражение:

1) $(x + a^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} \left(1 - \sqrt{\frac{a}{x}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}\right)^{-\frac{1}{5}} \cdot \sqrt[10]{(x-a)^3};$

2) $\left(x^3 \sqrt{\frac{x+1}{(x-1)^2}} - (x+1)^3 \sqrt[3]{\frac{1}{(x^2-1)^2}}\right)^{\frac{3}{7}} \cdot \frac{1}{\sqrt[7]{x^2-1}} \cdot$

Рассмотрим исходное выражение: $(x + a^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} \left(1 - \sqrt{\frac{a}{x}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}\right)^{-\frac{1}{5}} \cdot \sqrt[10]{(x-a)^3}$.

Упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $(x + a^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}$. Вынесем $x^{-\frac{1}{2}}$ за скобки: $x + a^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}}(x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}})$. Тогда первый множитель равен: $(x^{-\frac{1}{2}}(x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}}))^{\frac{1}{5}} = (x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}} = x^{-\frac{1}{10}}(x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}}$.

Второй множитель: $\left(1 - \sqrt{\frac{a}{x}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}\right)^{-\frac{1}{5}}$. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})$: $1 - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a}) - \sqrt{a}(\sqrt{x}-\sqrt{a}) + \sqrt{x}\sqrt{a}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})} = \frac{x - \sqrt{ax} - \sqrt{ax} + a + \sqrt{ax}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})} = \frac{x - \sqrt{ax} + a}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}$. Тогда второй множитель с учетом отрицательной степени равен: $\left(\frac{x - \sqrt{ax} + a}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}\right)^{-\frac{1}{5}} = \left(\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{x - \sqrt{ax} + a}\right)^{\frac{1}{5}}$.

Третий множитель: $\sqrt[10]{(x-a)^3} = (x-a)^{\frac{3}{10}}$.

Теперь перемножим все три упрощенных множителя: $x^{-\frac{1}{10}}(x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{x - \sqrt{ax} + a}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}}$.

Сгруппируем члены с одинаковой степенью $\frac{1}{5}$: $x^{-\frac{1}{10}} \left( (x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}}) \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{x - \sqrt{ax} + a} \right)^{\frac{1}{5}} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}}$.

Разложим сумму кубов в числителе: $x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{a})^3 = (\sqrt{x}+\sqrt{a})(x-\sqrt{ax}+a)$. Подставим это в выражение в скобках и сократим: $\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{a})(x-\sqrt{ax}+a)\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{x - \sqrt{ax} + a} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a}) = \sqrt{x}(x-a)$.

Подставим упрощенное выражение обратно: $x^{-\frac{1}{10}} (\sqrt{x}(x-a))^{\frac{1}{5}} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}} = x^{-\frac{1}{10}} (x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} (x-a)^{\frac{1}{5}} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}}$.

Используя свойства степеней, получаем: $x^{-\frac{1}{10}} \cdot x^{\frac{1}{10}} \cdot (x-a)^{\frac{1}{5}} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}} = x^{-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}} \cdot (x-a)^{\frac{1}{5}+\frac{3}{10}} = x^0 \cdot (x-a)^{\frac{2}{10}+\frac{3}{10}} = 1 \cdot (x-a)^{\frac{5}{10}} = (x-a)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x-a}$.

Ответ: $\sqrt{x-a}$.

Рассмотрим исходное выражение: $\left(x^3 \sqrt[3]{\frac{x+1}{(x-1)^2}} - (x+1)\sqrt[3]{\frac{1}{(x^2-1)^2}}\right)^{\frac{3}{7}} \cdot \frac{1}{\sqrt[7]{x^2-1}}$.

Сначала упростим выражение в больших скобках. Представим корни в виде степеней. Первое слагаемое: $x^3 \left(\frac{x+1}{(x-1)^2}\right)^{\frac{1}{3}} = x^3 \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}$.

Второе слагаемое: $(x+1)\left(\frac{1}{(x^2-1)^2}\right)^{\frac{1}{3}} = (x+1)\left(\frac{1}{((x-1)(x+1))^2}\right)^{\frac{1}{3}} = (x+1)\frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}(x+1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{(x+1)^{1-\frac{2}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}$.

Теперь вычтем второе слагаемое из первого: $x^3 \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} - \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{(x^3-1)(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}$.

Разложим разность кубов $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$: $\frac{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = (x-1)^{1-\frac{2}{3}}(x^2+x+1)(x+1)^{\frac{1}{3}} = (x-1)^{\frac{1}{3}}(x^2+x+1)(x+1)^{\frac{1}{3}}$.

Сгруппируем члены: $((x-1)(x+1))^{\frac{1}{3}}(x^2+x+1) = (x^2-1)^{\frac{1}{3}}(x^2+x+1)$.

Теперь возведем полученное выражение в степень $\frac{3}{7}$: $\left((x^2-1)^{\frac{1}{3}}(x^2+x+1)\right)^{\frac{3}{7}} = ((x^2-1)^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{7}}(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}} = (x^2-1)^{\frac{1}{7}}(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}}$.

Наконец, умножим на последний множитель $\frac{1}{\sqrt[7]{x^2-1}} = (x^2-1)^{-\frac{1}{7}}$: $(x^2-1)^{\frac{1}{7}}(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}} \cdot (x^2-1)^{-\frac{1}{7}} = (x^2-1)^{\frac{1}{7}-\frac{1}{7}}(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}} = (x^2-1)^0(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}} = (x^2+x+1)^{\frac{3}{7}}$.

Ответ: $(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}}$ или $\sqrt[7]{(x^2+x+1)^3}$.

504. Найти значение выражения $x^3 + ax + b$, если

$x = \sqrt[3]{-\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}$.

Для нахождения значения выражения $x^3 + ax + b$ возведем данное значение $x$ в куб. Чтобы упростить вычисления, введем следующие обозначения:

$u = \sqrt[3]{-\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}$

$v = \sqrt[3]{-\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}$

Тогда $x = u + v$.

Теперь возведем $x$ в куб, используя формулу куба суммы: $x^3 = (u+v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u+v)$.

Найдем значения для каждого компонента этой формулы.

1. Вычислим $u^3$ и $v^3$:

$u^3 = \left(\sqrt[3]{-\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}\right)^3 = -\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}$

$v^3 = \left(\sqrt[3]{-\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}\right)^3 = -\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}$

2. Найдем сумму $u^3 + v^3$:

$u^3 + v^3 = \left(-\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}\right) + \left(-\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}\right) = -\frac{b}{2} - \frac{b}{2} = -b$

3. Найдем произведение $uv$:

$uv = \sqrt[3]{\left(-\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}\right) \cdot \left(-\frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}\right)}$

Выражение под кубическим корнем представляет собой произведение разности и суммы, которое равно разности квадратов:

$uv = \sqrt[3]{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}\right)^2} = \sqrt[3]{\frac{b^2}{4} - \left(\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}\right)} = \sqrt[3]{\frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4} - \frac{a^3}{27}} = \sqrt[3]{-\frac{a^3}{27}} = -\frac{a}{3}$

Теперь подставим найденные значения $u^3+v^3 = -b$ и $uv = -\frac{a}{3}$ в формулу для $x^3$. Также заменим $u+v$ на $x$:

$x^3 = (u^3 + v^3) + 3(uv)(u+v)$

$x^3 = -b + 3\left(-\frac{a}{3}\right)x$

$x^3 = -b - ax$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить искомое выражение:

$x^3 + ax + b = 0$

Таким образом, значение выражения $x^3 + ax + b$ равно нулю. Следует отметить, что данное выражение для $x$ является решением кубического уравнения вида $y^3+ay+b=0$, известным как формула Кардано.

Ответ: 0

505. Найти значение выражения $ \left(\frac{(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}}+(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}}-(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}}\right)^{-2} $, если $x = a \left(\frac{m^2+n^2}{2mn}\right)^{\frac{1}{2}}$ и $n > m > 0$.

Для решения задачи сначала упростим выражения $x^2+a^2$ и $x^2-a^2$, подставив в них данное значение $x$.

Дано: $x = a \left( \frac{m^2+n^2}{2mn} \right)^{\frac{1}{2}}$, где $n > m > 0$.

Возведем $x$ в квадрат: $x^2 = \left( a \left( \frac{m^2+n^2}{2mn} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^2 = a^2 \frac{m^2+n^2}{2mn}$.

Теперь найдем $x^2+a^2$: $x^2+a^2 = a^2 \frac{m^2+n^2}{2mn} + a^2 = a^2 \left( \frac{m^2+n^2}{2mn} + 1 \right) = a^2 \left( \frac{m^2+n^2+2mn}{2mn} \right) = a^2 \frac{(m+n)^2}{2mn}$.

И найдем $x^2-a^2$: $x^2-a^2 = a^2 \frac{m^2+n^2}{2mn} - a^2 = a^2 \left( \frac{m^2+n^2}{2mn} - 1 \right) = a^2 \left( \frac{m^2+n^2-2mn}{2mn} \right) = a^2 \frac{(m-n)^2}{2mn} = a^2 \frac{(n-m)^2}{2mn}$. Поскольку $n > m > 0$, выражение $x^2-a^2$ положительно, и все последующие операции с корнями корректны.

Обозначим исходное выражение как $E$: $E = \left( \frac{(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}} + (x^2-a^2)^{-\frac{1}{2}}}{(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}} - (x^2-a^2)^{-\frac{1}{2}}} \right)^{-2}$.

Теперь вычислим значения степеней, входящих в выражение $E$.

$(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}} = \left( a^2 \frac{(m+n)^2}{2mn} \right)^{-\frac{1}{2}} = (a^2)^{-\frac{1}{2}} \left( \frac{(m+n)^2}{2mn} \right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a} \sqrt{\frac{2mn}{(m+n)^2}}$. Так как $n > m > 0$, то $m+n > 0$, следовательно $\sqrt{(m+n)^2} = m+n$. Получаем: $(x^2+a^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{m+n}$.

$(x^2-a^2)^{-\frac{1}{2}} = \left( a^2 \frac{(n-m)^2}{2mn} \right)^{-\frac{1}{2}} = (a^2)^{-\frac{1}{2}} \left( \frac{(n-m)^2}{2mn} \right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a} \sqrt{\frac{2mn}{(n-m)^2}}$. Так как $n > m$, то $n-m > 0$, следовательно $\sqrt{(n-m)^2} = n-m$. Получаем: $(x^2-a^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{n-m}$.

Подставим эти результаты в выражение $E$: $E = \left( \frac{\frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{m+n} + \frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{n-m}}{\frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{m+n} - \frac{1}{a} \frac{\sqrt{2mn}}{n-m}} \right)^{-2}$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{a}\sqrt{2mn}$ за скобки в числителе и знаменателе дроби и сократим его: $E = \left( \frac{\frac{1}{m+n} + \frac{1}{n-m}}{\frac{1}{m+n} - \frac{1}{n-m}} \right)^{-2}$.

Упростим числитель и знаменатель дроби в скобках, приведя их к общему знаменателю $(m+n)(n-m) = n^2-m^2$: Числитель: $\frac{1}{m+n} + \frac{1}{n-m} = \frac{(n-m) + (m+n)}{(m+n)(n-m)} = \frac{2n}{n^2-m^2}$. Знаменатель: $\frac{1}{m+n} - \frac{1}{n-m} = \frac{(n-m) - (m+n)}{(m+n)(n-m)} = \frac{n-m-m-n}{n^2-m^2} = \frac{-2m}{n^2-m^2}$.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение для $E$: $E = \left( \frac{\frac{2n}{n^2-m^2}}{\frac{-2m}{n^2-m^2}} \right)^{-2} = \left( \frac{2n}{-2m} \right)^{-2} = \left( -\frac{n}{m} \right)^{-2}$.

Используя свойство степени $(a/b)^{-k} = (b/a)^k$, получаем окончательный результат: $E = \left( -\frac{m}{n} \right)^{2} = \frac{(-m)^2}{n^2} = \frac{m^2}{n^2}$.

Ответ: $\frac{m^2}{n^2}$.