Страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

490. 1) $\frac{a^{\frac{5}{4}}\left(a^{-\frac{1}{4}}+a^{\frac{3}{4}}\right)}{a^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}\right)};$

2) $\frac{m^{\frac{1}{5}}\left(\sqrt[5]{m^{4}}-\sqrt[5]{m^{-1}}\right)}{m^{\frac{2}{3}}\left(\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{m^{-2}}\right)};$

3) $\frac{a^{\frac{5}{3}} b^{-\frac{4}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{5}{3}}};$

4) $\frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}.$

1)

Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Числитель:
$a^{\frac{5}{4}}(a^{-\frac{1}{4}} + a^{\frac{3}{4}}) = a^{\frac{5}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} + a^{\frac{5}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} + a^{\frac{5}{4} + \frac{3}{4}} = a^{\frac{4}{4}} + a^{\frac{8}{4}} = a^1 + a^2 = a + a^2$.

Знаменатель:
$a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{3}} + a^0 = a^1 + 1 = a + 1$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{a + a^2}{a + 1} = \frac{a(1 + a)}{a + 1} = a$.

Ответ: $a$

2)

Сначала преобразуем корни в степени с дробными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

Исходное выражение: $\frac{m^{\frac{1}{5}}(\sqrt[5]{m^4} - \sqrt[5]{m^{-1}})}{m^{\frac{2}{3}}(\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{m^{-2}})} = \frac{m^{\frac{1}{5}}(m^{\frac{4}{5}} - m^{-\frac{1}{5}})}{m^{\frac{2}{3}}(m^{\frac{1}{3}} - m^{-\frac{2}{3}})}$.

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель:
$m^{\frac{1}{5}}(m^{\frac{4}{5}} - m^{-\frac{1}{5}}) = m^{\frac{1}{5}} \cdot m^{\frac{4}{5}} - m^{\frac{1}{5}} \cdot m^{-\frac{1}{5}} = m^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} - m^{\frac{1}{5} - \frac{1}{5}} = m^{\frac{5}{5}} - m^0 = m - 1$.

Знаменатель:
$m^{\frac{2}{3}}(m^{\frac{1}{3}} - m^{-\frac{2}{3}}) = m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{\frac{1}{3}} - m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{2}{3}} = m^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - m^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} = m^{\frac{3}{3}} - m^0 = m - 1$.

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{m - 1}{m - 1} = 1$.

Ответ: $1$

3)

В условии этого примера, вероятно, допущена опечатка. Второй член в числителе $a^{-\frac{1}{3}}$, скорее всего, должен быть $a^{\frac{1}{3}}$, так как в подобных заданиях обычно предполагается значительное упрощение выражения. Решим задачу с исправленным условием.

Исправленное выражение: $\frac{a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{4}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{5}{3}}}$.

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

Числитель: вынесем за скобки $a^{\frac{1}{3}}$.
$a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{4}{3}} - a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}}b^{-\frac{4}{3}} - 1) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}}b^{-\frac{4}{3}} - 1) = a^{\frac{1}{3}}(\frac{a^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}} - 1) = a^{\frac{1}{3}} \frac{a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}$.

Знаменатель: вынесем за скобки $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$.
$a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{5}{3}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}} - b^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}})$.

Разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$\frac{a^{\frac{1}{3}} \frac{a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}})}{b^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}})}$.

Сократим одинаковые множители $a^{\frac{1}{3}}$ и $(a^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{4}{3}})$:
$\frac{1}{b^{\frac{4}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{b^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}} = \frac{1}{b^{\frac{5}{3}}} = b^{-\frac{5}{3}}$.

Ответ: $b^{-\frac{5}{3}}$

4)

Перепишем выражение, используя степени с дробными показателями: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$.
$\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдем наименьшие степени для $a$ и $b$.
Степени $a$: $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$. Наименьшая степень $a^{\frac{1}{3}}$.
Степени $b$: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Наименьшая степень $b^{\frac{1}{3}}$.
Выносим за скобки $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$:
$a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{3-2}{6}} + a^{\frac{3-2}{6}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}})$.

Подставим полученное выражение в дробь и сократим:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$.

Выражение также можно записать как $(ab)^{\frac{1}{3}}$ или $\sqrt[3]{ab}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

491. Вычислить:

1) $(2^{5/3} \cdot 5^{-1/3} - 5^{5/3} \cdot 2^{-1/3}) \sqrt[3]{10}$;

2) $(5^{1/4} : 2^{3/4} - 2^{1/4} : 5^{3/4}) \sqrt[4]{1000}.$

1) Решим выражение $(2^{\frac{5}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}} - 5^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}) \sqrt[3]{10}$.
Сначала преобразуем выражение в скобках. Для этого вынесем за скобки общий множитель с наименьшими показателями степени, то есть $2^{-\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}$:
$2^{\frac{5}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}} - 5^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^{\frac{5}{3}-(-\frac{1}{3})} \cdot 5^{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})} - 5^{\frac{5}{3}-(-\frac{1}{3})} \cdot 2^{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})})$
$= (2 \cdot 5)^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^{\frac{5}{3}+\frac{1}{3}} \cdot 5^0 - 5^{\frac{5}{3}+\frac{1}{3}} \cdot 2^0) = 10^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^{\frac{6}{3}} - 5^{\frac{6}{3}}) = 10^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^2 - 5^2)$
$= 10^{-\frac{1}{3}} \cdot (4 - 25) = -21 \cdot 10^{-\frac{1}{3}}$
Теперь преобразуем второй множитель: $\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}$.
Перемножим полученные выражения:
$(-21 \cdot 10^{-\frac{1}{3}}) \cdot 10^{\frac{1}{3}} = -21 \cdot 10^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = -21 \cdot 10^0 = -21 \cdot 1 = -21$.

Ответ: -21

2) Решим выражение $(5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}) \sqrt[4]{1000}$.
Сначала преобразуем выражение в скобках. Запишем деление в виде дробей и приведем их к общему знаменателю $2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}$:
$\frac{5^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}} - \frac{2^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}} = \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}} = \frac{5^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}{(2 \cdot 5)^{\frac{3}{4}}}$
$= \frac{5^{\frac{4}{4}} - 2^{\frac{4}{4}}}{10^{\frac{3}{4}}} = \frac{5^1 - 2^1}{10^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{10^{\frac{3}{4}}}$
Теперь преобразуем второй множитель: $\sqrt[4]{1000} = \sqrt[4]{10^3} = 10^{\frac{3}{4}}$.
Перемножим полученные выражения:
$\frac{3}{10^{\frac{3}{4}}} \cdot 10^{\frac{3}{4}} = 3$.

Ответ: 3

Упростить выражение (492-493).

492. 1) $a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a^3\sqrt{a}}$; 2) $b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b^4\sqrt{b}}$; 3) $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}-\sqrt[3]{ab})$

1) Для упрощения выражения $a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}}$ представим корни в виде степеней с рациональными показателями. В первую очередь упростим выражение под корнем шестой степени, двигаясь изнутри наружу:

$a\sqrt[3]{a} = a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{1+\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}$

Теперь подставим это обратно в корень шестой степени:

$\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}} = \sqrt[6]{a^{\frac{4}{3}}}$

Преобразуем корень шестой степени в степень с дробным показателем:

$(a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{6}} = a^{\frac{4}{18}} = a^{\frac{2}{9}}$

Наконец, умножим результат на первый множитель из исходного выражения:

$a^{\frac{1}{9}} \cdot a^{\frac{2}{9}} = a^{\frac{1}{9}+\frac{2}{9}} = a^{\frac{3}{9}} = a^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$

2) Для упрощения выражения $b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$ будем действовать аналогично первому пункту, представив корни в виде степеней.

Сначала упростим выражение под корнем третьей степени:

$b\sqrt[4]{b} = b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{1+\frac{1}{4}} = b^{\frac{5}{4}}$

Подставим результат в корень третьей степени и преобразуем его в степень:

$\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{b^{\frac{5}{4}}} = (b^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{12}}$

Теперь умножим на первый множитель:

$b^{\frac{1}{12}} \cdot b^{\frac{5}{12}} = b^{\frac{1}{12}+\frac{5}{12}} = b^{\frac{6}{12}} = b^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $b^{\frac{1}{2}}$

3) Рассмотрим выражение $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab})$. Оно похоже на формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

Чтобы применить эту формулу, сделаем замену. Пусть $x = \sqrt[3]{a}$ и $y = \sqrt[3]{b}$.

Выразим члены второй скобки через $x$ и $y$:

$a^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{a})^2 = x^2$

$b^{\frac{2}{3}} = (b^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{b})^2 = y^2$

$\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} = xy$

Теперь подставим эти замены в исходное выражение:

$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab}) = (x+y)(x^2+y^2-xy)$

Переставив слагаемые во второй скобке, получим точное соответствие формуле суммы кубов:

$(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$

Теперь вернемся к исходным переменным $a$ и $b$:

$x^3+y^3 = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 = a+b$

Ответ: $a+b$

493. 1) $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 \left(1 - 2\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}\right);$

2) $\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) : \left(2 + 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}} + 3\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right);$

3) $\frac{a^{\frac{1}{4}} - a^{-\frac{9}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} - a^{-\frac{5}{4}}} - \frac{b^{-\frac{1}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}}};$

4) $\frac{\sqrt{a} - a^{-\frac{1}{2}}b}{\sqrt[3]{a^2} - a^{-\frac{1}{3}}b} - \frac{\sqrt[3]{a^2} - a^{-\frac{1}{3}}b}{1 - \sqrt{a^{-1}b}} - \frac{\sqrt[6]{a} + a^{\frac{1}{3}}\sqrt[3]{b}}{1 - a^{-\frac{1}{3}}\sqrt[3]{b}}.$

1) Упростим выражение $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 \left(1 - 2\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}\right)$.

Заметим, что второй множитель представляет собой формулу квадрата разности: $1 - 2\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{a} = \left(1 - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 \left(1 - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2$

Представим второй множитель в виде дроби, используя свойство степеней $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$:

$\left(1 - \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\right)^2 = \left(\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\right)^2 = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2}{(a^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2}{a}$

Теперь перемножим первый множитель на полученную дробь:

$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 \cdot \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2}{a} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^4}{a}$

Ответ: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^4}{a}$.

2) Упростим выражение $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) : \left(2 + \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)$.

Сначала преобразуем делитель. Представим корни в виде степеней и приведем слагаемые к общему знаменателю $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$:

$2 + \frac{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + \frac{b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (a^{\frac{1}{3}})^2 + (b^{\frac{1}{3}})^2}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}$

Числитель полученной дроби является полным квадратом суммы: $(a^{\frac{1}{3}})^2 + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2$.

Таким образом, делитель равен $\frac{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}$.

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$.

3) Упростим выражение $\frac{a^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{9}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{5}{4}}} - \frac{b^{-\frac{1}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}}}$.

Рассмотрим первую дробь. Вынесем в числителе и знаменателе за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{4}}$:

$\frac{a^{\frac{1}{4}}(1 - a^{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{4}}(1 - a^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}})} = \frac{1 - a^2}{1 - a}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $1-a^2 = (1-a)(1+a)$ и сократим дробь:

$\frac{(1-a)(1+a)}{1-a} = 1+a$

Рассмотрим вторую дробь. Вынесем в числителе и знаменателе за скобки общий множитель $b^{-\frac{1}{2}}$:

$\frac{b^{-\frac{1}{2}}(1 - b^{\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})})}{b^{-\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})} + 1)} = \frac{1 - b^2}{b + 1}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $1-b^2 = (1-b)(1+b)$ и сократим дробь:

$\frac{(1-b)(1+b)}{1+b} = 1-b$

Вычислим разность полученных выражений:

$(1+a) - (1-b) = 1 + a - 1 + b = a+b$

Ответ: $a+b$.

4) Упростим выражение $\frac{\sqrt{a} - a^{-\frac{1}{2}}b}{1 - \sqrt{a^{-1}}b} - \frac{\sqrt[3]{a^2} - a^{-\frac{1}{3}}b}{\sqrt[6]{a} + a^{-\frac{1}{3}}\sqrt{b}}$.

Запишем выражение, используя степени с рациональными показателями: $\frac{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}b}{1 - a^{-\frac{1}{2}}b} - \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}}$.

Примечание: В знаменателе первой дроби, $1 - \sqrt{a^{-1}}b$, вероятнее всего, допущена опечатка. Для получения стандартного для таких задач упрощения, следует предположить, что имелось в виду $1 - \sqrt{a^{-1}b}$, что равно $1 - a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$. Решим задачу с этим исправлением.

Упростим первую дробь (с исправленным знаменателем): $\frac{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}b}{1 - a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$.

Вынесем $a^{-\frac{1}{2}}$ за скобки в числителе: $a^{-\frac{1}{2}}(a - b)$.

Вынесем $a^{-\frac{1}{2}}$ за скобки в знаменателе: $a^{-\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$.

$\frac{a^{-\frac{1}{2}}(a - b)}{a^{-\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$.

Теперь упростим вторую дробь: $\frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{1}{6}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}}$.

Вынесем $a^{-\frac{1}{3}}$ за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{a^{-\frac{1}{3}}(a - b)}{a^{-\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{6} - (-\frac{1}{3})} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a - b}{a^{\frac{1}{6} + \frac{2}{6}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$.

Найдем разность полученных выражений:

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) - (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = 2b^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{b}$.

Ответ: $2\sqrt{b}$.

494. Так называемые полупрозрачные материалы обладают тем свойством, что они пропускают свет, но уменьшают его интенсивность. Некоторый полупрозрачный пластик толщиной 1 мм уменьшает интенсивность света на 10%. Сколько листов этого пластика нужно сложить, чтобы интенсивность света:

1) составила примерно 41% от первоначальной;

2) уменьшилась примерно на 48%?

Пусть $I_0$ — первоначальная интенсивность света. Согласно условию, каждый лист пластика уменьшает интенсивность на 10%, то есть пропускает $100\% - 10\% = 90\%$ света. Прохождение света через несколько слоев материала описывается геометрической прогрессией.

После прохождения через один лист интенсивность $I_1$ станет: $I_1 = I_0 \cdot 0.9$.

После прохождения через два листа интенсивность $I_2$ станет: $I_2 = I_1 \cdot 0.9 = (I_0 \cdot 0.9) \cdot 0.9 = I_0 \cdot 0.9^2$.

Соответственно, после прохождения через $n$ листов пластика итоговая интенсивность $I_n$ будет равна:

$I_n = I_0 \cdot 0.9^n$

Теперь решим каждую часть задачи.

1) Нам нужно найти количество листов $n$, чтобы итоговая интенсивность составила примерно 41% от первоначальной. Математически это условие выглядит так:

$I_n \approx 0.41 \cdot I_0$

Подставим формулу для $I_n$ и сократим $I_0$:

$0.9^n \approx 0.41$

Будем подбирать целое значение $n$ путем расчета степеней 0.9:

При $n=7$: $0.9^7 \approx 0.478$ (интенсивность ~47.8%)

При $n=8$: $0.9^8 \approx 0.430$ (интенсивность ~43.0%)

При $n=9$: $0.9^9 \approx 0.387$ (интенсивность ~38.7%)

Сравним, какой из результатов ближе к 41%:

Отклонение для $n=8$: $|43.0\% - 41\%| = 2.0\%$.

Отклонение для $n=9$: $|38.7\% - 41\%| = 2.3\%$.

Результат для 8 листов ближе к заданному значению.

Ответ: 8 листов.

2) Нам нужно найти количество листов $n$, чтобы интенсивность света уменьшилась примерно на 48%. Если интенсивность уменьшилась на 48%, то она составила $100\% - 48\% = 52\%$ от первоначальной. Условие задачи:

$I_n \approx 0.52 \cdot I_0$

Подставив формулу для $I_n$, получаем:

$0.9^n \approx 0.52$

Снова воспользуемся расчетами степеней 0.9:

При $n=6$: $0.9^6 \approx 0.531$. Интенсивность составила ~53.1%, то есть уменьшилась на $100\% - 53.1\% = 46.9\%$.

При $n=7$: $0.9^7 \approx 0.478$. Интенсивность составила ~47.8%, то есть уменьшилась на $100\% - 47.8\% = 52.2\%$.

Сравним, какое из уменьшений интенсивности ближе к 48%:

Отклонение для $n=6$: $|46.9\% - 48\%| = 1.1\%$.

Отклонение для $n=7$: $|52.2\% - 48\%| = 4.2\%$.

Результат для 6 листов значительно ближе к требуемому уменьшению.

Ответ: 6 листов.

495. Для успешного лечения пациента медикам приходится оценивать площадь поверхности тела больного. Ни рост, ни вес в отдельности не являются полноценной характеристикой площади поверхности кожного покрова человека. На основе многочисленных экспериментов в 1916 г. два медика Д. Ф. Дьюбос и Е. Ф. Дьюбос предложили формулу для вычисления в квадратных метрах площади поверхности человеческого тела: $S = aH^bW^c$, где $H$ — рост человека (см), $W$ — вес человека (кг), коэффициенты $a, b$ и $c$ — числа, которые на 401-м испытуемом были определены учёными Е. Гелханом и С. Джорджем так: $a \approx 0,02350$, $b \approx 0,42246$, $c \approx 0,51456$. Найти площадь поверхности $S$ тела человека, имеющего рост 170 см и вес 70 кг. Найти $S$ того же человека, округлив значения коэффициентов $a, b$ и $c$ до одной значащей цифры; до двух значащих цифр.

Найти площадь поверхности S тела человека, имеющего рост 170 см и вес 70 кг.

Для вычисления площади поверхности тела $S$ воспользуемся предложенной формулой Дьюбос и Дьюбос с коэффициентами Гелхана и Джорджа:

$S = aH^bW^c$

Подставим в формулу заданные значения:

• рост $H = 170$ см
• вес $W = 70$ кг
• коэффициент $a \approx 0,02350$
• коэффициент $b \approx 0,42246$
• коэффициент $c \approx 0,51456$

Проведем вычисление:

$S = 0,02350 \cdot 170^{0,42246} \cdot 70^{0,51456}$

Сначала вычислим степенные выражения:

$170^{0,42246} \approx 8,2435$

$70^{0,51456} \approx 8,7836$

Теперь перемножим все значения:

$S \approx 0,02350 \cdot 8,2435 \cdot 8,7836 \approx 1,7018$ м².

Округлим результат до двух знаков после запятой, что является стандартной практикой для таких вычислений.

Ответ: $S \approx 1,70$ м².

Найти S того же человека, округлив значения коэффициентов a, b и c до одной значащей цифры.

Сначала округлим коэффициенты до одной значащей цифры:

• $a = 0,02350$. Первая значащая цифра – 2. Следующая цифра (3) меньше 5, поэтому округляем вниз: $a \approx 0,02$.
• $b = 0,42246$. Первая значащая цифра – 4. Следующая цифра (2) меньше 5, поэтому округляем вниз: $b \approx 0,4$.
• $c = 0,51456$. Первая значащая цифра – 5. Следующая цифра (1) меньше 5, поэтому округляем вниз: $c \approx 0,5$.

Теперь вычислим $S$ с новыми коэффициентами:

$S = 0,02 \cdot 170^{0,4} \cdot 70^{0,5}$

Вычислим степенные выражения:

$170^{0,4} \approx 7,954$

$70^{0,5} = \sqrt{70} \approx 8,367$

Перемножим значения:

$S \approx 0,02 \cdot 7,954 \cdot 8,367 \approx 1,3306$ м².

Округлим результат до двух знаков после запятой.

Ответ: $S \approx 1,33$ м².

...до двух значащих цифр.

Теперь округлим коэффициенты до двух значащих цифр:

• $a = 0,02350$. Первые две значащие цифры – 2 и 3. Следующая цифра (5) равна 5, поэтому округляем вверх: $a \approx 0,024$.
• $b = 0,42246$. Первые две значащие цифры – 4 и 2. Следующая цифра (2) меньше 5, поэтому округляем вниз: $b \approx 0,42$.
• $c = 0,51456$. Первые две значащие цифры – 5 и 1. Следующая цифра (4) меньше 5, поэтому округляем вниз: $c \approx 0,51$.

Вычислим $S$ с этими коэффициентами:

$S = 0,024 \cdot 170^{0,42} \cdot 70^{0,51}$

Вычислим степенные выражения:

$170^{0,42} \approx 8,214$

$70^{0,51} \approx 8,685$

Перемножим значения:

$S \approx 0,024 \cdot 8,214 \cdot 8,685 \approx 1,7099$ м².

Округлим результат до двух знаков после запятой.

Ответ: $S \approx 1,71$ м².