Номер 503, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

503. Упростить выражение:

1) $(x + a^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} \left(1 - \sqrt{\frac{a}{x}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}\right)^{-\frac{1}{5}} \cdot \sqrt[10]{(x-a)^3};$

2) $\left(x^3 \sqrt{\frac{x+1}{(x-1)^2}} - (x+1)^3 \sqrt[3]{\frac{1}{(x^2-1)^2}}\right)^{\frac{3}{7}} \cdot \frac{1}{\sqrt[7]{x^2-1}} \cdot$

Рассмотрим исходное выражение: $(x + a^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} \left(1 - \sqrt{\frac{a}{x}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}\right)^{-\frac{1}{5}} \cdot \sqrt[10]{(x-a)^3}$.

Упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $(x + a^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}$. Вынесем $x^{-\frac{1}{2}}$ за скобки: $x + a^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}}(x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}})$. Тогда первый множитель равен: $(x^{-\frac{1}{2}}(x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}}))^{\frac{1}{5}} = (x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}} = x^{-\frac{1}{10}}(x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}}$.

Второй множитель: $\left(1 - \sqrt{\frac{a}{x}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}\right)^{-\frac{1}{5}}$. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})$: $1 - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a}) - \sqrt{a}(\sqrt{x}-\sqrt{a}) + \sqrt{x}\sqrt{a}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})} = \frac{x - \sqrt{ax} - \sqrt{ax} + a + \sqrt{ax}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})} = \frac{x - \sqrt{ax} + a}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}$. Тогда второй множитель с учетом отрицательной степени равен: $\left(\frac{x - \sqrt{ax} + a}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}\right)^{-\frac{1}{5}} = \left(\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{x - \sqrt{ax} + a}\right)^{\frac{1}{5}}$.

Третий множитель: $\sqrt[10]{(x-a)^3} = (x-a)^{\frac{3}{10}}$.

Теперь перемножим все три упрощенных множителя: $x^{-\frac{1}{10}}(x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}} \cdot \left(\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{x - \sqrt{ax} + a}\right)^{\frac{1}{5}} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}}$.

Сгруппируем члены с одинаковой степенью $\frac{1}{5}$: $x^{-\frac{1}{10}} \left( (x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}}) \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{x - \sqrt{ax} + a} \right)^{\frac{1}{5}} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}}$.

Разложим сумму кубов в числителе: $x^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{a})^3 = (\sqrt{x}+\sqrt{a})(x-\sqrt{ax}+a)$. Подставим это в выражение в скобках и сократим: $\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{a})(x-\sqrt{ax}+a)\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{x - \sqrt{ax} + a} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a}) = \sqrt{x}(x-a)$.

Подставим упрощенное выражение обратно: $x^{-\frac{1}{10}} (\sqrt{x}(x-a))^{\frac{1}{5}} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}} = x^{-\frac{1}{10}} (x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} (x-a)^{\frac{1}{5}} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}}$.

Используя свойства степеней, получаем: $x^{-\frac{1}{10}} \cdot x^{\frac{1}{10}} \cdot (x-a)^{\frac{1}{5}} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}} = x^{-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}} \cdot (x-a)^{\frac{1}{5}+\frac{3}{10}} = x^0 \cdot (x-a)^{\frac{2}{10}+\frac{3}{10}} = 1 \cdot (x-a)^{\frac{5}{10}} = (x-a)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x-a}$.

Ответ: $\sqrt{x-a}$.

Рассмотрим исходное выражение: $\left(x^3 \sqrt[3]{\frac{x+1}{(x-1)^2}} - (x+1)\sqrt[3]{\frac{1}{(x^2-1)^2}}\right)^{\frac{3}{7}} \cdot \frac{1}{\sqrt[7]{x^2-1}}$.

Сначала упростим выражение в больших скобках. Представим корни в виде степеней. Первое слагаемое: $x^3 \left(\frac{x+1}{(x-1)^2}\right)^{\frac{1}{3}} = x^3 \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}$.

Второе слагаемое: $(x+1)\left(\frac{1}{(x^2-1)^2}\right)^{\frac{1}{3}} = (x+1)\left(\frac{1}{((x-1)(x+1))^2}\right)^{\frac{1}{3}} = (x+1)\frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}(x+1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{(x+1)^{1-\frac{2}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}$.

Теперь вычтем второе слагаемое из первого: $x^3 \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} - \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{(x^3-1)(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}$.

Разложим разность кубов $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$: $\frac{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = (x-1)^{1-\frac{2}{3}}(x^2+x+1)(x+1)^{\frac{1}{3}} = (x-1)^{\frac{1}{3}}(x^2+x+1)(x+1)^{\frac{1}{3}}$.

Сгруппируем члены: $((x-1)(x+1))^{\frac{1}{3}}(x^2+x+1) = (x^2-1)^{\frac{1}{3}}(x^2+x+1)$.

Теперь возведем полученное выражение в степень $\frac{3}{7}$: $\left((x^2-1)^{\frac{1}{3}}(x^2+x+1)\right)^{\frac{3}{7}} = ((x^2-1)^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{7}}(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}} = (x^2-1)^{\frac{1}{7}}(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}}$.

Наконец, умножим на последний множитель $\frac{1}{\sqrt[7]{x^2-1}} = (x^2-1)^{-\frac{1}{7}}$: $(x^2-1)^{\frac{1}{7}}(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}} \cdot (x^2-1)^{-\frac{1}{7}} = (x^2-1)^{\frac{1}{7}-\frac{1}{7}}(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}} = (x^2-1)^0(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}} = (x^2+x+1)^{\frac{3}{7}}$.

Ответ: $(x^2+x+1)^{\frac{3}{7}}$ или $\sqrt[7]{(x^2+x+1)^3}$.