gdz.top
Номер 506, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава IV. Степень с действительным показателем. §4. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 506, страница 166.
№505
№506 (с. 166)
Условие. №506 (с. 166)
506. Найти значение выражения
$\frac{(m+x)^{\frac{1}{2}}+(m-x)^{\frac{1}{2}}}{(m+x)^{\frac{1}{2}}-(m-x)^{\frac{1}{2}}}$, если $x = \frac{2mn}{n^2+1}$ и $m > 0, 0 < n < 1$.
Решение 1. №506 (с. 166)
Решение 2. №506 (с. 166)
Решение 3. №506 (с. 166)
Решение 4. №506 (с. 166)
Обозначим данное выражение как $E$. Исходное выражение можно переписать с использованием знаков квадратного корня:
$$ E = \frac{\sqrt{m+x} + \sqrt{m-x}}{\sqrt{m+x} - \sqrt{m-x}} $$Для начала упростим подкоренные выражения $m+x$ и $m-x$, подставив в них $x = \frac{2mn}{n^2+1}$.
Найдем $m+x$:
$$ m+x = m + \frac{2mn}{n^2+1} = \frac{m(n^2+1) + 2mn}{n^2+1} = \frac{mn^2+m+2mn}{n^2+1} $$Сгруппируем члены в числителе, чтобы выделить полный квадрат:
$$ \frac{m(n^2+2n+1)}{n^2+1} = \frac{m(n+1)^2}{n^2+1} $$Теперь найдем $m-x$:
$$ m-x = m - \frac{2mn}{n^2+1} = \frac{m(n^2+1) - 2mn}{n^2+1} = \frac{mn^2+m-2mn}{n^2+1} $$Аналогично сгруппируем члены в числителе:
$$ \frac{m(n^2-2n+1)}{n^2+1} = \frac{m(n-1)^2}{n^2+1} $$Теперь извлечем квадратные корни из полученных выражений. Учитываем, что по условию $m > 0$ и $0 < n < 1$.
Для первого выражения:
$$ \sqrt{m+x} = \sqrt{\frac{m(n+1)^2}{n^2+1}} = \frac{\sqrt{m}\sqrt{(n+1)^2}}{\sqrt{n^2+1}} $$Поскольку $n>0$, то $n+1>0$, и, следовательно, $\sqrt{(n+1)^2} = |n+1| = n+1$.
$$ \sqrt{m+x} = \frac{\sqrt{m}(n+1)}{\sqrt{n^2+1}} $$Для второго выражения:
$$ \sqrt{m-x} = \sqrt{\frac{m(n-1)^2}{n^2+1}} = \frac{\sqrt{m}\sqrt{(n-1)^2}}{\sqrt{n^2+1}} $$Поскольку $0 < n < 1$, то $n-1<0$, и, следовательно, $\sqrt{(n-1)^2} = |n-1| = -(n-1) = 1-n$.
$$ \sqrt{m-x} = \frac{\sqrt{m}(1-n)}{\sqrt{n^2+1}} $$Теперь подставим упрощенные выражения для $\sqrt{m+x}$ и $\sqrt{m-x}$ в исходную дробь $E$:
$$ E = \frac{\frac{\sqrt{m}(n+1)}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{\sqrt{m}(1-n)}{\sqrt{n^2+1}}}{\frac{\sqrt{m}(n+1)}{\sqrt{n^2+1}} - \frac{\sqrt{m}(1-n)}{\sqrt{n^2+1}}} $$Вынесем общий множитель $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}}$ за скобки в числителе и знаменателе:
$$ E = \frac{\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}} \left( (n+1) + (1-n) \right)}{\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}} \left( (n+1) - (1-n) \right)} $$Сократим общий множитель и упростим оставшееся выражение:
$$ E = \frac{(n+1) + (1-n)}{(n+1) - (1-n)} = \frac{n+1+1-n}{n+1-1+n} = \frac{2}{2n} = \frac{1}{n} $$Ответ: $\frac{1}{n}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 506 расположенного на странице 166 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №506 (с. 166), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.