Номер 513, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

513. 1) $(\frac{1}{27} \cdot 125^{-1})^{-\frac{1}{3}}$;

2) $(0,01)^{-2} : 100^{-\frac{1}{2}}$;

3) $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot (\frac{3}{4})^2$.

1) $(\frac{1}{27} \cdot 125^{-1})^{-\frac{1}{3}}$

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$125^{-1} = \frac{1}{125}$

Тогда выражение в скобках примет вид:

$\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{27 \cdot 125}$

Представим числа 27 и 125 в виде степеней:

$27 = 3^3$

$125 = 5^3$

Следовательно, $\frac{1}{27 \cdot 125} = \frac{1}{3^3 \cdot 5^3} = \frac{1}{(3 \cdot 5)^3} = \frac{1}{15^3} = 15^{-3}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(15^{-3})^{-\frac{1}{3}}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$15^{(-3) \cdot (-\frac{1}{3})} = 15^1 = 15$.

Другой способ решения. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, можно записать:

$(\frac{1}{27 \cdot 125})^{-\frac{1}{3}} = (27 \cdot 125)^{\frac{1}{3}}$

Далее, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$27^{\frac{1}{3}} \cdot 125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{125} = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: $15$

2) $(0,01)^{-2} : 100^{-\frac{1}{2}}$

Для решения представим десятичную дробь и число 100 в виде степеней числа 10.

$0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$

$100 = 10^2$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(10^{-2})^{-2} : (10^2)^{-\frac{1}{2}}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого члена выражения:

$(10^{-2})^{-2} = 10^{(-2) \cdot (-2)} = 10^4$

$(10^2)^{-\frac{1}{2}} = 10^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 10^{-1}$

Теперь выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$10^4 : 10^{-1} = 10^{4 - (-1)} = 10^{4+1} = 10^5 = 100000$.

Другой способ решения. Вычислим каждый член отдельно:

$(0,01)^{-2} = (\frac{1}{100})^{-2} = 100^2 = 10000$

$100^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{100^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10}$

Теперь выполним деление:

$10000 : \frac{1}{10} = 10000 \cdot 10 = 100000$.

Ответ: $100000$

3) $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot (\frac{3}{4})^2$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{10}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = \frac{54 + 10}{27} = \frac{64}{27}$

Теперь выражение выглядит так:

$(\frac{64}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot (\frac{3}{4})^2$

Представим числа 64 и 27 в виде степеней: $64 = 4^3$ и $27 = 3^3$. Тогда дробь можно записать как:

$\frac{64}{27} = \frac{4^3}{3^3} = (\frac{4}{3})^3$

Подставим это в первый множитель:

$((\frac{4}{3})^3)^{-\frac{2}{3}}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(\frac{4}{3})^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = (\frac{4}{3})^{-2}$

Теперь используем свойство $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$:

$(\frac{4}{3})^{-2} = (\frac{3}{4})^2$

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$(\frac{3}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^2$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$(\frac{3}{4})^{2+2} = (\frac{3}{4})^4$

Вычисляем результат:

$\frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}$

Ответ: $\frac{81}{256}$