Номер 477, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

477. Разложить на множители, используя тождество

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ или $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

1) $a - x$;

2) $x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}};

3) $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}};

4) $27a + c^2$.

Для решения данной задачи необходимо представить каждое выражение в виде суммы или разности кубов и затем применить соответствующую формулу сокращенного умножения:
Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Представим каждый член выражения в виде куба, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:
$a = a^1 = (a^{\frac{1}{3}})^3$
$x = x^1 = (x^{\frac{1}{3}})^3$
Таким образом, выражение $a - x$ можно записать как разность кубов: $(a^{\frac{1}{3}})^3 - (x^{\frac{1}{3}})^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = a^{\frac{1}{3}}$ и $B = x^{\frac{1}{3}}$.
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$a - x = (a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + (x^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}})$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}})$.

Представим каждый член выражения как куб некоторого другого выражения:
$x^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2} \cdot 3}) = (x^{\frac{1}{2}})^3$
$y^{\frac{3}{2}} = (y^{\frac{1}{2} \cdot 3}) = (y^{\frac{1}{2}})^3$
Получаем разность кубов: $(x^{\frac{1}{2}})^3 - (y^{\frac{1}{2}})^3$.
Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = x^{\frac{1}{2}}$ и $B = y^{\frac{1}{2}}$.
Подставляем в формулу:
$x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})((x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2) = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y)$.
Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:
$a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{6} \cdot 3} = (a^{\frac{1}{6}})^3$
$b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{6} \cdot 3} = (b^{\frac{1}{6}})^3$
Выражение принимает вид разности кубов: $(a^{\frac{1}{6}})^3 - (b^{\frac{1}{6}})^3$.
Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = a^{\frac{1}{6}}$ и $B = b^{\frac{1}{6}}$.
Подставив в формулу, получим:
$a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})((a^{\frac{1}{6}})^2 + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + (b^{\frac{1}{6}})^2) = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{2}{6}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{2}{6}}) = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}})$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}})$.

Представим каждый член выражения в виде куба:
$27a = 3^3 \cdot a = (3a^{\frac{1}{3}})^3$
$c^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6} \cdot 3} = (c^{\frac{1}{6}})^3$
Выражение представляет собой сумму кубов: $(3a^{\frac{1}{3}})^3 + (c^{\frac{1}{6}})^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = 3a^{\frac{1}{3}}$ и $B = c^{\frac{1}{6}}$.
Подставляем значения в формулу:
$27a + c^{\frac{1}{2}} = (3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})((3a^{\frac{1}{3}})^2 - (3a^{\frac{1}{3}})(c^{\frac{1}{6}}) + (c^{\frac{1}{6}})^2) = (3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})(9a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{6}} + c^{\frac{2}{6}}) = (3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})(9a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{6}} + c^{\frac{1}{3}})$.
Ответ: $(3a^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{6}})(9a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{6}} + c^{\frac{1}{3}})$.